并查集应用 —— POJ 1182 食物链

来源：互联网发布：数控车床编程视频教程编辑：程序博客网时间：2024/05/16 17:56

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食物链

Time Limit: 1000MS Memory Limit: 10000KTotal Submissions: 54927 Accepted: 16104

Description

动物王国中有三类动物A,B,C，这三类动物的食物链构成了有趣的环形。A吃B， B吃C，C吃A。
现有N个动物，以1－N编号。每个动物都是A,B,C中的一种，但是我们并不知道它到底是哪一种。
有人用两种说法对这N个动物所构成的食物链关系进行描述：
第一种说法是"1 X Y"，表示X和Y是同类。
第二种说法是"2 X Y"，表示X吃Y。
此人对N个动物，用上述两种说法，一句接一句地说出K句话，这K句话有的是真的，有的是假的。当一句话满足下列三条之一时，这句话就是假话，否则就是真话。
1）当前的话与前面的某些真的话冲突，就是假话；
2）当前的话中X或Y比N大，就是假话；
3）当前的话表示X吃X，就是假话。
你的任务是根据给定的N（1 <= N <= 50,000）和K句话（0 <= K <= 100,000），输出假话的总数。

Input

第一行是两个整数N和K，以一个空格分隔。
以下K行每行是三个正整数 D，X，Y，两数之间用一个空格隔开，其中D表示说法的种类。
若D=1，则表示X和Y是同类。
若D=2，则表示X吃Y。

Output

只有一个整数，表示假话的数目。

Sample Input

100 71 101 1 2 1 22 2 3 2 3 3 1 1 3 2 3 1 1 5 5

Sample Output

题意：中文题，不多说

思路：

开始时把同一类的动物并在相同的集合往死里想，做了一堆无用功；首先要正确理解的一点是：要把相互之间有关系（吃与被吃关系，同类关系）的，或者他们之间的关系可以通过集合所构成的树推导出来的动物（比如x， y）并在相同的集合

如上图，在这棵以 5 为根的树中，其中每个结点之间都存在关系，比如 1 和 2 之间，他们的关系要么是1 吃 2；要么是 2 吃 1 ；要么1 和 2 是同类。确定他们之间关系的方法将重点讲。

我们用 fa[x] = y 表示 x 的父亲结点为 y；然后用一个rela[] 数组表示 x 与 fa[x] 的关系。

rela[x] = 0 表示 x 与 fa[x] 是同类，

rela[x] = 1 表示 x 吃 fa[x]，

rela[x] = 2 表示 fa[x] 吃 x。

看这样一颗3个结点的树，

（图1）（图2）

假如此时rela[x] = 1；relax[y] = 1；relax[z] = 0（也只能等于0，因为它是根，自己跟自己是同类）

即是 x 吃 y ，y 吃 z ；由这两点再根据题目意思还可以知道 z 吃 x

当我们对 x 调用 fx = Find(x) 时，这时必须知道什么是并查集的路径压缩，不知道的先弄懂再往下看；

我们就会把（图1 ）变成（图2），但此时rela[x] = 1 就错了（这样就是 x 吃 z ，与原意 z 吃 x 不符）

所以在压缩路径的时候要修改 rela[x] 的值，怎样修改？！

其实我们可以根据 x 对 y 的关系，以及 y 对 z 的关系，推导出 x 对 z 的关系。枚举这个过程就是：

rela[x] rela[y] rela[z] | 修改后的 rela[x]

0 0 0 0

0 1 0 1

0 2 0 2

1 0 0 1

1 1 0 2

1 2 0 0

2 0 0 2

2 1 0 0

2 2 0 1

通过枚举所有情况我们发现

修改后的 rela[x] = (rela[x] + rela[y]) % 3；

因此在令 z = fa[x] 之前加上这句：rela[x] = (rela[x] + rela[y]) % 3 就能正确描述结点之间的关系。

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

这样对于一个操作 d x y；我们可以这样处理：

令 fx = Find(x); fy = Find(y); 如果 fx == fy ；即x 与 y 在同一个集合里。这好办，根据路径压缩我们会得到这样的一棵树：

即 x 与 y 都直接指向根结点（也就是集合的代表）。这时我们知道的是 x 对 root 的关系 rela[x] 和 y 对 root 的关系 rela[y]；问题是我们要知道的是 x 对 y 的关系，因为我们要以此来判断 d x y 是否正确。

如果我们把上图想象成（只是想象，实际并不进行这样的操作）：

即改变了root 与 y 的父子关系

rela[x] 没有变，我们不去动它；但 rela[root] 不再是 0 ，这里我直接说了，通过枚举我们可以知道 rela[root] = 3 - rela[y]。接下来有没有熟悉的感觉，就是上面（图1）的那个过程；这里就可以确定 x 与 y 的关系了。即 x 对 y 的关系 rxy = (rela[x] + rela[root]) % 3；展开就是 rxy = (rela[x] + (3 - rela[y])) % 3；

接下来如果 rxy != d - 1 的话，那 d x y 这句话就是假的（把 d = 1 和 d = 2 代入你会发现的确是这样）

如果 fx != fy 呢？这就说明x 与 y 不在同一个集合里面 。这更好办，说明 x 与 y 还没有任何关系，你怎样说都是对的。麻烦的是定义了x 与 y 的关系之后（比如 1 x y 或 2 x y），你要把 x 所在的集合跟 y 所在的集合合并，使得 x 与 y 存在关系。

我们通过 fx = Find(x) 和 fy = Find(y) 同样可以得到这样图：

为了方便观察我们可以简化这个图：

这里我们把 x 所在集合接到 y 所在集合里，即最终令 fa[fx] = fy，即

但在这之前我们要先确定 fx 对 fy 的关系，即修改 rela[fx]。怎样修改？我们通过 d x y 操作可以知道 x 对 y 的关系为 d - 1 （d = 1 那 d - 1 = 0 就表示 x 与 y 是同类，d = 2 那 d - 1 = 1 就表示 x 吃 y，跟我们的定义是一样的）；即我们知道了 x 对 y 的关系，y 对 fy 的关系，那根据前面的公式， x 对 fy 的关系 x_fy = ((d - 1) + rela[y]) % 3。到这里我们可以想象到这样一个图：

这里我们知道 x 对 fx 的关系 rela[x] 和 x 对 fy 的关系 x_fy；那我们可以像前面那样改变 x 与 fx 的父子关系，使图变成这样：

相应地可以求 fx 对 x 的关系为 fx_x = 3 - rela[x]；这样就可以求 fx 对 fy 的关系了！即 fx 对 fy 的关系 fx_fy = (fx_x + x_fy) % 3。把原数代入就是：

fx_fy = ((3 - rela[x]) + ((d - 1) + rela[y]) % 3) % 3 也就是：

fx_fy = (2 - rela[x] + d + rela[y]) % 3

这样就可以合并两个集合了。

必须叹服！这道题把并查集运用地非常巧妙！

#include <stdio.h>#include <stdlib.h>#include <string.h>#define N 50010int fa[N];int rela[N];void Init(){int i;for(i = 0; i < N; i++){fa[i] = i;rela[i] = 0;}}int Find(int x){int fx;if(x == fa[x]) return x;fx = Find(fa[x]);rela[x] = (rela[x] + rela[fa[x]]) % 3;fa[x] = fx;return fx;}void Union(int x, int y, int d) /* 使 x 所在集合成为 y 所在集合的子集合 */{int fx, fy;fx = fa[x];fy = fa[y];rela[fx] = ((3 - rela[x]) + (d - 1) + rela[y]) % 3;fa[fx] = fy;}int main(){#if 0freopen("in.txt","r",stdin);#endifint n, m, count = 0;scanf("%d%d", &n, &m);Init();while(m--){int d, x, y, fx, fy;scanf("%d%d%d", &d, &x, &y);if(x < 1 || x > n || y < 1 || y > n){count++;continue;}fx = Find(x);fy = Find(y);if(fx == fy){if((rela[x] + (3 - rela[y])) % 3 != d - 1) count++;}else Union(x, y, d);}printf("%d\n", count);return 0;}

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