什么是动态规划

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什么是动态规划

动态规划（dynamic programming)与分治法相似，都是通过组合子问题的解来求解原问题，动态规划应用于子问题重叠的情况，即不同的子问题具有公共的子子问题。通常按照下面4个步骤来设计一个动态规划算法：
1. 刻画一个最优解的结构特征。
2. 递归地定义最优解的值
3. 计算最优解的值，通常采用自底向上的方法
4. 利用计算出的信息构造一个最优解
这是算法导论上的定义，但是这个定义对于初学者来说并没有很大的帮助，因为不知道如何划分子问题和刻画最优解的结构

1.动态规划的本质

动态规划的本质是对问题的状态的定义和转态转移方程的定义
动态规划是通过拆分问题，定义问题状态和状态之间的关系，使得问题能够以递推（或者说分治）的方式去解决。但如何拆分问题才是动态规划的核心，而拆分问题靠的是状态的定义和状态方程的定义。

1.1 状态的定义

现举一个列子：

给定一个数列，长度为N，求这个数列的最长上升（递增）子数列（LIS）的长度.以 1 7 2 8 3 4为例。这个数列的最长递增子数列是 1 2 3 4，长度为4；次长的长度为3， 包括 1 7 8; 1 2 3 等.

要解决这个问题首先我们需要定义这个问题和这个问题的子问题。
所以我么重新定义这个问题

给定一个长度为N的数列。
设Fk为：以数列中第k项结尾的最长递增子序列的长度.
求F1...FN的最大值
很显然这个问题与原问题是等价的。
而对于Fk来说，F1 .. Fk−1都是Fk的子问题：因为以第k项结尾的最长递增子序列(简称LIS)，包含着以第1 … k 项结尾的LIS。
上述问题中Fk称之为状态，定义中的”Fk为数列中第k项结尾的LIS的长度”就叫做状态的定义。之所以把Fk叫做”状态”而不是”问题”,一是因为避免与原问题中”问题”混淆，二是因为这个新问题是数学化定义的。

当然，我们可以使用不同的视角来定义这个问题：
给定一个长度为N的数列，
设Fi,k为：
在前i项中，长度为k的最长递增子序列中，最后一位的最小值。
1≤k≤N
若在前i项中，不存在长度为k的最长递增子序列，则Fi,k为正无穷。
求最大的x，使得FN,x不为正无穷。
这个问题的定义与原问题也是等价的。
上述的Fi,k就是状态，定义中的“Fi,k为：在前项中，长度为k 的最长递增子序列中，最后一位的最小值”就是对状态的定义。

1.2 什么是状态转移方程？

上述状态定义好之后，转态和转态之间的关系式，就叫做状态转移方程

对于LIS问题，第一种定义：
设Fk为：以数列中第k项结尾的最长递增子序列的长度。
设A为题中数列，转态转移方程为：
F1=1 (根据定义导出边界情况)
Fk=max(Fi+1|Ak>Ai,i∈(1...k−1)(k>1)
文字解释为：
以第k项结尾的LIS的长度是：保证第i项小的情况下，以第i项结尾的LIS长度加1的最大值，取遍i的所有值(i小于k).

第二种定义：
设Fi,k为：在数列前i项中，长度为k的递增子序列中，最后一位的最小值
设A为题中数列，状态转移方程为：
若Ai>Fi−1,k−1则Fi,k=min(Ai,Fi−1,k)
否则：Fi,k=Fi−1,k

（边界情况需要分类讨论较多，在此不列出，需要根据状态定义导出边界情况。）大家套着定义读一下公式就可以了，应该不难理解，就是有点绕。

这里可以看出，这里的状态转移方程，就是定义了问题和子问题之间的关系。
可以看出，状态转移方程就是带有条件的递推式。