漫画：什么是动态规划？（整合版）

题目：

有一座高度是10级台阶的楼梯，从下往上走，每跨一步只能向上1级或者2级台阶。要求用程序来求出一共有多少种走法。

比如，每次走1级台阶，一共走10步，这是其中一种走法。我们可以简写成 1,1,1,1,1,1,1,1,1,1。

解法1：暴力枚举法（利用排列组合思想，写一个多层嵌套循环遍历出所有的可能性。每遍历出一个组合，让计数器加一）

大事化小，小事化了
那刚才的面试题目来说，假设只差最后一步就走到第10级台阶，这时候会出现几种情况？



思路如下

F(10) = F(9) + F(8)

动态规划当中包含三个重要的概念：最优子结构，边界，状态转换公式



动态规划两个部分：1问题建模，2解决问题







备忘录算法{}


程序从 i=3 开始迭代，一直到 i=n 结束。每一次迭代，都会计算出多一级台阶的走法数量。迭代过程中只需保留两个临时变量a和b，分别代表了上一次和上上次迭代的结果。 为了便于理解，我引入了temp变量。temp代表了当前迭代的结果值。
题目二： 国王和金矿

有一个国家发现了5座金矿，每座金矿的黄金储量不同，需要参与挖掘的工人数也不同。参与挖矿工人的总数是10人。每座金矿要么全挖，要么不挖，不能派出一半人挖取一半金矿。要求用程序求解出，要想得到尽可能多的黄金，应该选择挖取哪几座金矿？

方法一：排列组合

每一座金矿都有挖与不挖两种选择，如果有N座金矿，排列组合起来就有2^N种选择。对所有可能性做遍历，排除那些使用工人数超过10的选择，在剩下的选择里找出获得金币数最多的选择。

代码比较简单就不展示了，时间复杂度也很明显，就是O(2^N)。



第一步：找出最优子结构



F(5,10) = MAX( F(4,10) , F(4, 10 - P(4) ) +G【4】 )
第二步：找出最优选择之间的关系

第三步：确定问题的边界


方法二：简单递归

把状态转移方程式翻译成递归程序，递归的结束的条件就是方程式当中的边界。因为每个状态有两个最优子结构，所以递归的执行流程类似于一颗高度为N的二叉树。

方法的时间复杂度是O(2^N)。

方法三：备忘录算法

在简单递归的基础上增加一个HashMap备忘录，用来存储中间结果。HashMap的Key是一个包含金矿数N和工人数W的对象，Value是最优选择获得的黄金数。

方法的时间复杂度和空间复杂度相同，都等同于备忘录中不同Key的数量。

转自http://mp.weixin.qq.com/s?__biz=MzIxMjE5MTE1Nw==&mid=2653190796&idx=1&sn=2bf42e5783f3efd03bfb0ecd3cbbc380&chksm=8c990856bbee8140055c3429f59c8f46dc05be20b859f00fe8168efe1e6a954fdc5cfc7246b0&scene=21#wechat_redirect