Size Balanced Tree

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Size Balanced Tree(SBT)是一种平衡二叉查找树。它的论文由中国广东中山纪念中学的陈启峰于2006年底完成，并在Winter Camp 2007中发表。由于SBT的拼写很容易找到中文谐音，它常被中国的OIer们戏称为“傻X树”、“Super BT”等。但它的性能并不SB，编写起来也并不BT。恰恰相反，SBT易于实现，且据陈启峰论文中所言，“这是目前为止速度最快的高级二叉搜索树”。它能在O(logn)的时间内完成所有BST的相关操作。而且由于SBT赖以保持平衡的是Size域而不是其他“无用”的域，它可以很方便地实现动态顺序统计中的select和rank。

SBT跟算法导论里面的Weight-balanced Tree (WBT) 有所不同。WBT维护的是子树与儿子的关系，SBT维护的是子树与侄子（兄弟的儿子）的关系。
从理论上来讲，SBT和其他流行的平衡树在摊平时间复杂度上没有区别。
从实用角度来说，SBT在某些方面可能会超越其他平衡树。在SBT的左/右旋转过程中，所有节点的平均深度在下降，那么查询操作的期望深度也在降低（如果一个节点在深度d，那么我们只需要走d步）。当查询操作比较多的时候，SBT会有优势。另外，SBT保存的子树大小可以用来查询第k大，而AVL，Treap，红黑树存储的额外信息不能用来查询第k大。

目录

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• 1 性质
• 2 旋转
  • 2.1 左旋转
  • 2.2 右旋转
• 3 保持性质(Maintain)
• 4 基本操作
  • 4.1 查找
  • 4.2 取大/取小
  • 4.3 后继
  • 4.4 前趋
  • 4.5 插入
  • 4.6 删除
• 5 动态顺序统计操作
  • 5.1 检索具有给定排序的元素
  • 5.2 求元素的秩
• 6 性能分析
• 7 源码
• 8 参考资料
• 9 例题:NOI2004郁闷的出纳员

[编辑]性质

Size Balanced Tree（SBT）是一种通过大小（Size）域来保持平衡的二叉搜索树，它也因此得名。它总是满足：
对于SBT的每一个结点 t：

1. 性质(a) s[right[t]] ≥ s[left[left[t]]]，s[right[left[t]]]
2. 性质(b) s[left[t]] ≥ s[left[right[t]]]，s[right[right[t]]]

即每棵子树的大小不小于其兄弟的子树大小。

图1

如图（圈代表结点，三角代表SBT，下同）：

1. s[R] ≥ s[A]，s[B]
2. s[L] ≥ s[C]，s[D]

[编辑]旋转

SBT的旋转（Rotations）与其他许多高级BST相同。它是下面提到的Maintain操作的基础。

图2

[编辑]左旋转

Left-Rotate (t)1     k ← right[t]2     right[t] ← left[k]3     left[k] ← t4     s[k] ← s[t]5     s[t] ← s[left[t]] + s[right[t]] + 16     t ← k

[编辑]右旋转

Right-Rotate(t)1     k ← left[t]2     left[t] ← right[k]3     right[k] ← t4     s[k] ← s[t]5     s[t] ← s[left[t]] + s[right[t]] + 16     t ← k

[编辑]保持性质(Maintain)

当我们插入或删除一个结点后，SBT的大小就发生了改变。这种改变有可能导致性质(a)或(b)被破坏。这时，我们需要用Maintain操作来修复这棵树。Maintain操作是SBT中最具活力的一个独特过程；Maintain(T)用于修复以T为根的 SBT。调用Maintain(T)的前提条件是T的子树都已经是SBT了。
我们需要讨论的有4种情况。由于性质a和性质b是对称的，所以我们仅仅详细的讨论性质a。

1. 第一种情况：s[left[left[t]]>s[right[t]]
   图3（同图1）如图3，执行完Insert(left[t],v)后发生S[A]>S[R]，我们可以执行以下的指令来修复SBT：
   1. 首先执行Right-Ratote(t)，这个操作让图3变成图4；
      图4
   2. 在这之后，有时候这棵树还仍然不是一棵SBT，因为 s[C]>s[B] 或者 s[D]>s[B] 也是可能发生的。所以就有必要继续调用Maintain(T)。
   3. 结点L的右子树有可能被连续调整，因为有可能由于性质的破坏需要再一次运行Maintain(L)。
      
      
2. 第二种情况：s[right[left[t]]>s[right[t]]
   图5在执行完Insert(left[t],v)后发生s[B]>s[R]，如图5，这种调整要比情况1复杂一些。我们可以执行下面的操作来修复：
   1. 在执行完Left-Ratote(L)后，图5就会变成下面图6那样了。
      图6
   2. 然后执行Right-Ratote(T)，最后的结果就会由图6转变成为下面的图7。
      图7
   3. 在第1步和第2步过后，整棵树就变得非常不可预料了。万幸的是，在图7中，子树A、E、F和R仍就是SBT，所以我们可以调用Maintain(L)和Maintain(T)来修复结点B的子树。
   4. 在第3步之后，子树都已经是SBT了，但是在结点B上还可能不满足性质a或性质b，因此我们需要再一次调用Maintain(B)。
      
      
3. 第三种情况：s[right[right[t]]>s[left[t]]
   与情况1对称。
4. 第四种情况：s[left[right[t]]>s[left[t]]
   与情况2对称。

通过前面的分析，很容易写出一个普通的Maintain。

Maintain (t)01     If s[left[left[t]]>s[right[t]] then    //case102          Right-Rotate(t)03          Maintain(right[t])04          Maintain(t)05          Exit06     If s[right[left[t]]>s[right[t]] then   //case207          Left-Rotate(left[t])08          Right-Rotate(t)09          Maintain(left[t])10          Maintain(right[t])11          Maintain(t)12          Exit13     If s[right[right[t]]>s[left[t]] then   //case1'14          Left-Rotate(t)15          Maintain(left[t])16          Maintain(t)17          Exit18     If s[left[right[t]]>s[left[t]] then    //case2'19          Right-Rotate(right[t])20          Left-Rotate(t)21          Maintain(left[t])22          Maintain(right[t])23          Maintain(t)

前面的标准过程的伪代码有一点复杂和缓慢。通常我们可以保证性质a和性质b的满足，因此我们只需要检查情况1和情况2或者情况3和情况4，这样可以提高速度。所以在那种情况下，我们需要增加一个布尔（boolean）型变量：flag，来避免毫无意义的判断。如果flag是false，那么检查情况1和情况2；否则检查情况3和情况4。

Maintain (t,flag)01     If flag=false then02          If s[left[left[t]]>s[right[t]] then      //case103               Right-Rotate(t)04          Else05               If s[right[left[t]]>s[right[t]] then   //case206                    Left-Rotate(left[t])07                     Right-Rotate(t)08          Else                                   //needn’t repair09               Exit10     Else11          If s[right[right[t]]>s[left[t]] then      //case1'12               Left-Rotate(t)13          Else14               If s[left[right[t]]>s[left[t]] then     //case2'15                    Right-Rotate(right[t])16                    Left-Rotate(t)17          Else                                    //needn’t repair18               Exit19     Maintain(left[t],false)                     //repair the left subtree20     Maintain(right[t],true)                     //repair the right subtree21     Maintain(t,false)                           //repair the whole tree22     Maintain(t,true)                            //repair the whole tree

为什么Maintain(left[t],true)和Maintain(right[t],false)被省略了呢？您可以在陈启峰论文第六部分的分析中找到答案。
其他可以从论文中获得的信息：每次SBT后树的总深度递减的证明；Maintain的平摊运行时间是O(1)的证明（也就是说你不必担心Maintain这个递归过程是否会永不停止）等。

[编辑]基本操作

[编辑]查找

SBT的查找操作与普通BST完全相同。下面的过程将返回指向目标节点的指针。

Search(x,k)1     if x=NULL or k=key[x] //找到了目标节点或目标节点不存在则返回x2        then return x3     if k<key[x]4        then return Search(left[x],k)5     else return Search(right[x],k)

[编辑]取大/取小

由于SBT本身已经维护了size，因此这两项可用Select操作完成。

[编辑]后继

SBT的后继操作与普通BST完全相同。

[编辑]前趋

SBT的前趋操作与普通BST完全相同。它与上面的后继操作对称。

[编辑]插入

SBT的插入操作很简单。它仅仅比普通BST的多出了一个Maintain操作和对s的简单维护。下面这个过程将一个节点v插入SBT中。

Insert (t,v)1     If t=0 then2        t ← v3     Else4        s[t] ← s[t]+15         If v<key[t] then6              Insert(left[t],v)7         Else8              Insert(right[t],v)9     Maintain(t,v≥key[t])

[编辑]删除

与普通维护size域的BST删除相同。
关于无需Maintain的说明by sqybi：
在删除之前，可以保证整棵树是一棵SBT。当删除之后，虽然不能保证这棵树还是SBT，但是这时整棵树的最大深度并没有改变，所以时间复杂度也不会增加。这时，Maintain就显得是多余的了。

[编辑]动态顺序统计操作

由于SBT本来就是靠着size域来维持平衡的，当我们进行动态顺序统计操作时，我们就无需去“额外”维护一个size域来进行数据结构的扩张。这样，以下操作就与其他高级BST扩张后的动态顺序统计操作完全一样了。

[编辑]检索具有给定排序的元素

下面这个过程将返回一个指向以x为根的子树中包含第i小关键字的节点的指针。

Select(x,i)1     r ← size[left[x]] + 12     if(i=r)3          then return x4     else if i<r5          then return Select(left[x],i)6     else return Select(right[x],i-r)

[编辑]求元素的秩

SBT的rank操作与普通BST完全相同。

[编辑]性能分析

SBT的高度是O(logn)，Maintain是O(1)，所有主要操作都是O(logn)。

[编辑]源码

C
C++
Pascal

[编辑]参考资料

• [Size Balanced Tree], 陈启峰
• Size Balanced Tree, 陈启峰, Translated by BambooLeaf
• Introduction to Algorithms

[编辑]例题:NOI2004郁闷的出纳员

【问题描述】

OIER公司是一家大型专业化软件公司，有着数以万计的员工。作为一名出纳员，我的任务之一便是统计每位员工的工资。这本来是一份不错的工作，但是令人郁闷的是，我们的老板反复无常，经常调整员工的工资。如果他心情好，就可能把每位员工的工资加上一个相同的量。反之，如果心情不好，就可能把他们的工资扣除一个相同的量。我真不知道除了调工资他还做什么其它事情。

工资的频繁调整很让员工反感，尤其是集体扣除工资的时候，一旦某位员工发现自己的工资已经低于了合同规定的工资下界，他就会立刻气愤地离开公司，并且再也不会回来了。每位员工的工资下界都是统一规定的。每当一个人离开公司，我就要从电脑中把他的工资档案删去，同样，每当公司招聘了一位新员工，我就得为他新建一个工资档案。

老板经常到我这边来询问工资情况，他并不问具体某位员工的工资情况，而是问现在工资第k多的员工拿多少工资。每当这时，我就不得不对数万个员工进行一次漫长的排序，然后告诉他答案。

好了，现在你已经对我的工作了解不少了。正如你猜的那样，我想请你编一个工资统计程序。怎么样，不是很困难吧？

【输入文件】

cashier.in第一行有两个非负整数n和min。n表示下面有多少条命令，min表示工资下界。

接下来的n行，每行表示一条命令。命令可以是以下四种之一：

名称 格式 作用 I命令 I_k 新建一个工资档案，初始工资为k。如果某员工的初始工资低于工资下界，他将立刻离开公司。 A命令 A_k 把每位员工的工资加上k S命令 S_k 把每位员工的工资扣除k F命令 F_k 查询第k多的工资 

_（下划线）表示一个空格，I命令、A命令、S命令中的k是一个非负整数，F命令中的k是一个正整数。

在初始时，可以认为公司里一个员工也没有。

【输出文件】

输出文件cashier.out的行数为F命令的条数加一。

对于每条F命令，你的程序要输出一行，仅包含一个整数，为当前工资第k多的员工所拿的工资数，如果k大于目前员工的数目，则输出-1。

输出文件的最后一行包含一个整数，为离开公司的员工的总数。

【样例输入】

9 10 I 60 I 70 S 50 F 2 I 30 S 15 A 5 F 1 F 2 

【样例输出】

10 20 -1 2 

【约定】

I命令的条数不超过100000

A命令和S命令的总条数不超过100

F命令的条数不超过100000

每次工资调整的调整量不超过1000

新员工的工资不超过100000

数组实现的 Size Balanced Tree

 #include <fstream>  using namespace std;  ifstream fin("cashier.in");  ofstream fout("cashier.out");  const unsigned int MAX_N=100001;  int ZUISHAO;     //最低工资  int ADD_PAY=0;  unsigned int C_NUM=0;  int front = 0;  struct node  {    int key;    int size, llink, rlink;  }OIER[MAX_N];  void LeftRotate(int &x)//左旋  {    int y = OIER[x].rlink;    if (y == 0) return;    OIER[x].rlink = OIER[y].llink;    OIER[y].llink = x;    OIER[y].size = OIER[x].size;    OIER[x].size = OIER[OIER[x].llink].size+OIER[OIER[x].rlink].size+1;    x = y;  }  void RightRotate(int &x)//右旋  {    int y = OIER[x].llink;    if (y == 0) return;    OIER[x].llink = OIER[y].rlink;    OIER[y].rlink = x;    OIER[y].size = OIER[x].size;    OIER[x].size = OIER[OIER[x].llink].size+OIER[OIER[x].rlink].size+1;    x = y;  }  void Maintain(int &root, bool flag)//维护 SBT 树  {    if (!root) return;    if (flag)    {        if(OIER[root].llink && OIER[OIER[root].llink].llink            && (!OIER[root].rlink || OIER[OIER[OIER[root].llink].llink].size > OIER[OIER[root].rlink].size))            RightRotate(root);        else if(OIER[root].llink && OIER[OIER[root].llink].rlink            && (!OIER[root].rlink || OIER[OIER[OIER[root].llink].rlink].size > OIER[OIER[root].rlink].size))        {            LeftRotate(OIER[root].llink);            RightRotate(root);        }        else return;    }    else    {        if (OIER[root].rlink && OIER[OIER[root].rlink].rlink            && (!OIER[root].llink || OIER[OIER[OIER[root].rlink].rlink].size > OIER[OIER[root].llink].size))            LeftRotate(root);        else if (OIER[root].rlink && OIER[OIER[root].rlink].llink            && (!OIER[root].llink || OIER[OIER[OIER[root].rlink].llink].size > OIER[OIER[root].llink].size))        {            RightRotate(OIER[root].rlink);            LeftRotate(root);        }        else return;    }    Maintain(OIER[root].llink, true);    Maintain(OIER[root].rlink, false);    Maintain(root, true);    Maintain(root, false);  }  void Insert(int &root, int x)//插入关键字 x  {    if (!root)    {        root = ++front;        OIER[root].key = x;        OIER[root].size = 1;    }    else    {        ++OIER[root].size;        Insert(x <= OIER[root].key ? OIER[root].llink : OIER[root].rlink, x);        Maintain(root, x <= OIER[root].key);    }  }  int Delete(int &root)//删除  {     int t=0,sum=0;     if(!root) return root;     if(OIER[root].key+ADD_PAY<ZUISHAO) {  sum+=OIER[OIER[root].llink].size+1;  OIER[root].size-=sum;  OIER[root].llink=0;  t=Delete(OIER[root].rlink);  sum+=t;  OIER[root].size-=t;     OIER[OIER[root].rlink].size=OIER[root].size;  root=OIER[root].rlink;  }     else {          t=Delete(OIER[root].llink);          sum=t;          OIER[root].size-=t;          }     return sum;  }        int Select(int R, int x)//返回第 x 大的元素  {    if(OIER[R].rlink==0)OIER[OIER[R].rlink].size=0;    int r = OIER[OIER[R].rlink].size+1;    if (x<r) return Select(OIER[R].rlink, x);    else    if (x>r) return Select(OIER[R].llink, x-r);    if(x==r) return OIER[R].key;    }   int main(void)  {    unsigned int N;    char command;    int pay,root=0;    int i;    fin>>N>>ZUISHAO;    for(i=1;i<=N;i++)       {          fin>>command>>pay;          if(command=='I'){                  if(pay>=ZUISHAO)Insert(root,pay-ADD_PAY);                                                                         }          if(command=='F'){                           if(pay>OIER[root].size) fout<<-1<<endl;                           else   fout<<Select(root, pay)+ADD_PAY<<endl;                           }          if(command=='A')ADD_PAY+=pay;          if(command=='S'){                           ADD_PAY-=pay;                           C_NUM+=Delete(root);                           }         }     fout<<C_NUM<<endl;    return 0;  }