hihocoder 1122 : 二分图二•二分图最大匹配之匈牙利算法
来源:互联网 发布:python 冒号的作用 编辑:程序博客网 时间:2024/06/06 12:50
点击打开链接
- 样例输入
5 43 21 35 41 5
- 样例输出
2
描述
上一回我们已经将所有有问题的相亲情况表剔除了,那么接下来要做的就是安排相亲了。因为过年时间并不是很长,所以姑姑希望能够尽可能在一天安排比较多的相亲。由于一个人同一天只能和一个人相亲,所以要从当前的相亲情况表里选择尽可能多的组合,且每个人不会出现两次。不知道有没有什么好办法,对于当前给定的相亲情况表,能够算出最多能同时安排多少组相亲呢?
同样的,我们先将给定的情况表转换成图G=(V,E)。在上一回中我们已经知道这个图可以被染成黑白两色。不妨将所有表示女性的节点记为点集A,表示男性的节点记为点集B。则有A∪B=V。由问题可知所有边e的两个端点分别属于AB两个集合。则可以表示成如下的图:
同样的,我们将所有的边分为两个集合。集合S和集合M,同样有S∪M=E。边集S表示在这一轮相亲会中将要进行的相亲,边集M表示在不在这一次进行。对于任意边(u,v) ∈ S,我们称u和v为一组匹配,它们之间相互匹配。在图G,我们将边集S用实线表示,边集M用虚线表示。得到下图:
则原问题转化为,最多能选择多少条边到集合S,使得S集合中任何两条边不相邻(即有共同的顶点)。显然的,|S|<=Min{|A|, |B|}。
那么能不能找到一个算法,使得能够很容易计算出尽可能多的边能够放入集合S?我们不妨来看一个例子:
对于已经匹配的点我们先不考虑,我们从未匹配的点来做。这里我们选择A集合中尚未匹配的点(A3和A4)考虑:
对于A3点,我们可以发现A3与B4右边相连,且都未匹配。则直接将(A3,B4)边加入集合S即可。
对于A4点,我们发现和A4相连的B3,B4点都已经匹配了。但是再观察可以发现,如果我们将A2和B2相连,则可以将B3点空出来。那么就可以同时将(A2,B2),(A4,B3)相连。将原来的一个匹配变成了两个匹配。
让我们来仔细看看这一步:我们将这次变换中相关联的边标记出来,如下图所示紫色的3条边(A2,B2),(A2,B3),(A4,B3)。
这三条边构成了一条路径,可以发现这条路径有个非常特殊的性质。虚线和实线相互交错,并且起点和终点都是尚未匹配的点,且属于两个不同的集合。我们称这样的路径为交错路径。
再进一步分析,对于任意一条交错路径,虚线的数量一定比实线的数量多1。我们将虚线和实线交换一下,就变成了下面的图:
在原来1个匹配的基础上,我们得到了2个新的匹配,S集合边的数量也增加了1。并且原来在已经匹配的点仍然是已经匹配的状态。
再回头看看A3点匹配时的情况:对于(A3,B4)这一条路径,同样满足了交错路径的性质。
至此我们得到了一个找新匹配的有效算法:
选取一个未匹配的点,查找是否存在一条以它为起点的交错路径。若存在,将该交错路径的边虚实交换。否则在当前的情况下,该点找不到可以匹配的点。
又有对于已经匹配的点,该算法并不会改变一个点的匹配状态。所以当我们对所有未匹配的点都计算过后,仍然没有交错路径,则不可能找到更多的匹配。此时S集合中的边数即为最大边数,我们称为最大匹配数。
那么我们再一次梳理整个算法:
1. 依次枚举每一个点i;
2. 若点i尚未匹配,则以此点为起点查询一次交错路径。
最后即可得到最大匹配数。
在这个基础上仍然有两个可以优化的地方:
1.对于点的枚举:当我们枚举了所有A中的点后,无需再枚举B中的点,就已经得到了最大匹配。
2.在查询交错路径的过程中,有可能出现Ai与Bj直接相连,其中Bj为已经匹配的点,且Bj之后找不到交错路径。之后又通过Ai查找到了一条交错路径{Ai,Bx,Ay,…,Az,Bj}延伸到Bj。由于之前已经计算过Bj没有交错路径,若此时再计算一次就有了额外的冗余。所以我们需要枚举每个Ai时记录B集合中的点是否已经查询过,起点不同时需要清空记录。
伪代码
输入
第1行:2个正整数,N,M(N表示点数 2≤N≤1,000,M表示边数1≤M≤5,000)
第2..M+1行:每行两个整数u,v,表示一条无向边(u,v)
输出
第1行:1个整数,表示最大匹配数
- hihoCoder 1122 二分图二•二分图最大匹配之匈牙利算法
- hihocoder 1122 : 二分图二•二分图最大匹配之匈牙利算法
- hihocoder 1122 : 二分图二•二分图最大匹配之匈牙利算法
- [HihoCoder]#1122 : 二分图二•二分图最大匹配之匈牙利算法
- hihocoder 1122 : 二分图二•二分图最大匹配之匈牙利算法
- hihocoder 1122 : 二分图二•二分图最大匹配之匈牙利算法
- hihoCoder - 1122 - 二分图最大匹配之匈牙利算法
- #1122 : 二分图二•二分图最大匹配之匈牙利算法
- HIHO #1122 : 二分图二•二分图最大匹配之匈牙利算法
- 二分图匹配 匈牙利算法 hihocoder 1122
- hihocoder 1122最大二分匹配匈牙利算法
- 二分图最大匹配之匈牙利算法
- 二分图之最大匹配匈牙利算法
- 二分图二•二分图最大匹配之匈牙利算法
- 二分图二•二分图最大匹配之匈牙利算法
- hiho 34 二分图二•二分图最大匹配之匈牙利算法
- hihocoder1122 二分图二•二分图最大匹配之匈牙利算法
- 二分图最大匹配算法-匈牙利算法
- Jenkins Email Extension Plugin 引用变量${FILE}时乱码
- AES加密和解密
- 设计模式之观察者模式(订阅模式),jquery实现
- 简单的分页js代码
- window.location.href不起作用的原因分析
- hihocoder 1122 : 二分图二•二分图最大匹配之匈牙利算法
- VMware扩展磁盘大小
- 关于支付宝分享集成
- 今天在做一个SSH整合测验时发现了一个异常(According to TLD or attribute directive in tag file)
- 在Unity世界里遇到的第一个错误!
- Mysql没有初始密码(ERROR 1045 (28000): Access denied for user 'root'@'localhost' (using password: NO))
- spark安装、源码编译
- 点滴记录ExtJS练习——ComboBox的四种扩展
- 可视化学习之百度echarts工具(2)