RSA笔记

      RSA属于非对称加密算法，因为RSA使用了两个不同的密钥分别用于加密和解密，这两个密钥称之为公私钥对，其中公钥用于加密，且公钥是公开的，而私钥用于解密，私钥是私有的。

      RSA的计算过程如下：

      1. 找到两个大素数p和q，计算出n = pq；

      2. 计算出φ(n) = (p-1)*(q-1)，选择一个e，满足1 < e <φ(n)，且gcd(φ(n), e) = 1；

      3. 计算出d，使得d满足ed % φ(n) = 1；

          此时，已经生成了公私钥对，其中(e, n)为公钥，(d, n)为私钥。

      4. 对于明文M，有密文C = M^e % n，此为加密过程；

      5. 对于密文C，有明文M = C^d % n，此为解密过程；

练习 ：

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题目描述：

      给定RSA密文[971,922,605,1446,1704,889,2090,605,1899,1915,2088,1988,1235,1032,65,922,958,1988,2144,591,1988,2270,2088,1032,65,958,2233]，已知RSA的公钥为{7,2449}，请还原出对应的明文。

考察意图：

      考察选手对RSA加密算法的了解，以及基本的RSA算法攻击方法。

质因数分解

      RSA面临的一种攻击方式为数学攻击，实质上就是试图分解两个素数的乘积，给定RSA的公钥{e, n}，根据RSA的定义，如果能够将n分解为两个素数的乘积，即n = pq，那么就可以计算出d了，也就是得到私钥{d, n}。

      需要指出的是，如果n非常大，那么这样的攻击基本上是不可行的，以Gmail为例，其n的长度为256字节，即所说的2048位，就目前的计算条件而言，在私钥不泄露的情况下是安全的。对于本题给定的n=2449而言，我们可以轻易的将其分解为两个素数的乘积

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私钥获取 

      在实验步骤一中，我们已经将2449分解为31与79的乘积，即p=31，q=79，因此可以计算出φ(n) = (p-1)*(q-1) = 30*78 = 2340，现在已经给定了e=7，只需要找到一个d，使得ed % φ(n) = 1即可。在数据量很小的情况下，这里直接枚举也是可以求出d的，但是更加正式的方法是使用扩展欧几里得算法进行求解。

      对于扩展欧几里得算法的具体求解过程，因为篇幅原因这里不进行讲解，有兴趣的同学可以查阅相关资料。这里主要讲解为什么通过扩展欧几里得算法可以求出d。

      对于给定的两个数a和b，扩展欧几里得可以求出最大公约数gcd(a,b)以及x,y使得：

      ax + by = gcd(a, b)

      在RSA中，已知φ(n)和e，要求求出d，使得ed % φ(n) = 1。应用到扩展欧几里得算法中，另a=φ(n)，b=e，已知            gcd(φ(n), e) = 1，则有：

      φ(n)*x + e*y = 1

      因为φ(n)*x %φ(n) = 0，所以自然有ey %φ(n) = 1，即扩展欧几里得求出的y就是我们所要的d。需要注意的是，求出来的y可能是负数，因此y需要不断的加上φ(n)，直到大于0，因为φ(n)*x + e*y =φ(n)*(x-e) + e*(y+φ(n))

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RSA解密

      经过前面的推导分析，我们已经成功计算出了RSA的私钥{d, n}，现在只需要执行解密操作即可，解密过程为C^d % n。但是现在面临的一个问题是，在计算C^d时可能存在一些问题，比如当C和d都非常大时，C^d的计算可能非常耗时且结果非常大，实际上并不需要计算出完整的C^d，这里可以在数学上做一些优化，具体不进行讲解，有兴趣请自行查阅了解。Python自带的pow函数可以快速计算出C^d % n，即pow(C, d, n)

对于学习理解RSA    我想这些应该是最主要的内容了  精炼~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~脚本不附上 可自行练习编写~