递归算法复杂度的求法

算法导论公开课第二课里给出了三种方法，求解T(n) = aT(n/b) + f(n)

第一种代入法：观察a和b的数量关系，猜测最后的结果。例如T(n) = 4T(n/2)，那么T(n)最后很可能是Θ(n^2)的复杂度。设出T(n)的形式，然后利用数学归纳法证明之。适用于较简单的递归式。

第二种递归树法：分别写出每一层的时间复杂度再求和。这种方法适合递归树比较有规律的情况，譬如归并算法或二分查找，递归树的每一层之和呈某种简单的数列，这样很方便就可以求和。

第三种是更加形式化的主方法【预计算：叶节点数目为n^log(b,a)。因为树的高度是log(b,n)，每层的节点数目为a^层数，所以叶节点的数目即第log(b,n)层的数目为a^(log(b,n))，即n^(b,a)，lg表示以2为底】

根据f(n)的不同分三种情况：

case1: f(n) = O(n^(log(b,a)-ε))，即f(n)比叶节点数目要多项式小于，最终的复杂度T(n)=Θ(n^log(b,a))；

case2: f(n)=Θ(n^log(b,a)*lg^k(n))，通俗地理解就是，f(n)比叶节点数目差不多，但不会多项式大于。（因为因子是n的对数）。最终复杂度T(n)=Θ(n^log(b,a)*lg^(k+1)(n))。这里的k+1的意义在于，对每一层分解之后的f(n)进行叠加，树的高度是log(b,n)，与lg(n)只差一个常数因子。所以就用lg(n)表示，在复杂度中lg(n)的幂次中体现出；

case3: f(n) = Ω(n^(log(b,a)+ε))，即f(n)比叶节点数目要多项式大于，最终的复杂度T(n)=Θ(f(n))。