pow(x,y)函数

实现浮点类型的幂运算，函数原型为:

double pow(double x, int n)

在求解这个问题的时候是一个很挣扎的过程，因为它不是报错而是一直提示你超出时间，那么必须一次次的考虑怎样降低时间复杂度。

首先最直接的思路是下面这样的，就跟直观的数学求解一样。

double pow(double x, int n){  if(n==0)    return 1.0;  if(n<0)    return 1.0/pow(x,-n);  return x*pow(x,n-1);}

但是会提示你超出时间，这是可以理解的，因为时间复杂度是O(n)。对于较大的n这是不可接受的。

其次， 考虑到n个x相乘式子的对称关系，可以对上述方法进行改进，从而得到一种时间复杂度为O(logn)的方法，递归关系可以表示为pow(x,n) = pow(x,n/2)*pow(x,n-n/2)。

double pow(double x, int n){  if(n==0)    return 1.0;  if(n<0)    return 1.0/pow(x,-n);  double half = pow(x,n>>1);  if(n%2==0)    return half*half;  else    return half*half*x;}

这样时间复杂度降低了一个数量级，但是仍然会超时。

最后，网上搜答案查到下面的解决方案，这根编程之美中求1的个数很类似。只不过加了一步数学幂转化为乘法，即指数相加的过程。

描述如下：

Consider the binary representation of n. For example, if it is "10001011", then x^n = x^(1+2+8+128) = x^1 * x^2 * x^8 * x^128. Thus, we don't want to loop n times to calculate x^n. To speed up, we loop through each bit, if the i-th bit is 1, then we add x^(1 << i) to the result. Since (1 << i) is a power of 2, x^(1<<(i+1)) = square(x^(1<<i)). The loop executes for a maximum of log(n) times.

该方法通过扫描n的二进制表示形式里不同位置上的1，来计算x的幂次。

double my_pow(double x, int n){  if(n==0)    return 1.0;  if(n<0)    return 1.0 / pow(x,-n);  double ans = 1.0 ;  for(; n>0; x *= x, n>>=1)  {    if(n&1>0)      ans *= x;  }  return ans;}

这里有一个问题就是当n等于INT_MIN时，求绝对值之后会超出整数范围，因为负数是比正数多一个的。在这里作为一个边界添加考虑即可。

if(n<0)          {              if(n==INT_MIN)                  return 1.0 / (pow(x,INT_MAX)*x);              else                  return 1.0 / pow(x,-n);          }