基础数论模版

来源：互联网发布：淘宝指数查询官网编辑：程序博客网时间：2024/05/19 16:20

欧拉函数值，小于n且与n互质的数的个数

#include <iostream>#include <cstdio>#include <cmath>#include <cstring>using namespace std;const int maxn = 1000005;int p[maxn];//m[i]保存i的欧拉函数int Eular(int n){    //求解单独一个数字的欧拉函数值    int ans=n;    for(int i = 2 ; i*i <= n ; i++)    {        if(n%i == 0)        {            n/=i;            ans-=ans/i;            while(n%i==0)            {                n/=i;            }        }    }    if(n>1)    {        ans-=ans/n;    }    return ans;}

//求出1到n范围内的所有数的欧拉函数void solve_Euler(){    memset(p,0,sizeof(p));    for(int i = 2 ; i <= 1000000 ; i++)    {        //利用筛选发求p[i]       if(!p[i])       {           for(int j = i ; j <= 1000000 ; j+=i)           {               if(!p[j])               {                   p[j]=j;               }               p[j]=p[j]/i*(i-1);           }       }    }}int main(){    int n;    solve_Euler();    //cout<<p[1]<<endl;    while(scanf("%d",&n)!=EOF && n)    {        long long num=0;        for(int i = 2 ; i <= n ; i++)        {            num+=p[i];        }        printf("%I64d\n",num);    }    return 0;}

素数筛选法求1到n之间的素数

#include <iostream>#include <string>using namespace std;const int MAX=20000;bool prime[MAX];//prime[i]=1代表i是素数void Filterprime(){    memset(prime,true,sizeof(prime));    prime[0]=false;    prime[1]=false;    int i;    for (i = 2;i*i <= MAX;i++)    {        if (prime[i])        {            int j = i*2;            while (j <= MAX)            {                prime[j]=false;                j+=i;            }        }    }}int main(){    Filterprime();    int n,count=1;    while (cin>>n&&n>0)    {        if (prime[n] &&n!=2)        {            cout<<count++<<": yes"<<endl;        }        else cout<<count++<<": no"<<endl; }

扩展欧几里德算法是用来在已知a, b求解一组x，y使得a*x+b*y=Gcd(a,b)(解一定存在，根据数论中的相关定理)

#include <iostream>#include <cstdio>using namespace std;int ExGcd(int a,int b,int &x,int &y){    if(b==0)    {        x=1;        y=0;        return a;    }    int r=ExGcd(b,a%b,x,y);    int t=x;    x = y;    y = t-a/b*y;    return r;}int main(){    int a,b,x,y;    while(scanf("%d%d",&a,&b)!=EOF)    {        ExGcd(a,b,x,y);        printf("%d %d\n",x,y);    }    return 0;}

不定方程方程求解的问题 , 求a * x + b * y = n的整数解

1、先计算Gcd(a,b)，若n不能被Gcd(a,b)整除，则方程无整数解；否则，在方程两边同时除以Gcd(a,b)，得到新的不定方程a' * x + b' * y = n'，此时Gcd(a',b')=1;

2、利用上面所说的欧几里德算法求出方程a' * x + b' * y = 1的一组整数解x0,y0，则n' * x0,n' * y0是方程a' * x + b' * y = n'的一组整数解(也是原方程的一组整数解)；

3、根据数论中的相关定理，可得方程a' * x + b' * y = n'的所有整数解为：

x = n' * x0 + b' * t

y = n' * y0 - a' * t(t为整数)

上面的解也就是a * x + b * y = n 的全部整数解。

#include <iostream>using namespace std;__int64 t,p;__int64 euclid(__int64 a,__int64 b){if(b==0)return a;elsereturn euclid(b,a%b);}void extended_euclid(__int64 a,__int64 b){if(b==0){t=1;p=0;}else{__int64 temp;extended_euclid(b,a%b);temp=t-a/b*p;t=p;p=temp;}}int main(){__int64 x,y,n,m,L,gcd;cin>>x>>y>>m>>n>>L;if (m==n){cout<<"Impossible"<<endl;return 0;}__int64 a,b,c,c1;a=n-m;b=L;c=x-y;   //由题意构建的a,b,c...a*x+b*y=c;gcd=euclid(a,b);c1=c%gcd;if (c1!=0){cout<<"Impossible"<<endl;return 0;}c/=gcd;a/=gcd;b/=gcd;   extended_euclid(a,b);t*=c;p*=c;t=(t%b+b)%b;cout<<t<<endl;return 0;}

模线性方程ax=b (mod n) 求X的值。

该方程有解的充要条件为 gcd(a,n) | b ，即 b% gcd(a,n)==0.

当有解时，关键在于计算最大公约数 d=gcd(a,n) 与最小解x0

引入欧几里得扩展方程 d=ax+by

注意：

计算n=2^k时，用位运算是最快的，1<<k （1左移k位）就是2^k

但是使用long long要注意格式， 1LL<<k

使用__int64要强制类型转换 (__int64)1<<k

#include <iostream>#include <cstdio>using namespace std;//d=ax+by,其中最大公约数d=gcd(a,n)，x、y为方程系数，返回值为d、x、y__int64 EXTENDED_EUCLID(__int64 a,__int64 b,__int64& x,__int64& y){if(b==0){x=1;y=0;return a;  //d=a，x=1,y=0,此时等式d=ax+by成立}__int64 d=EXTENDED_EUCLID(b,a%b,x,y);__int64 xt=x;x=y;y=xt-a/b*y;  //系数x、y的取值是为满足等式d=ax+byreturn d;}int main(void){__int64 A,B,C,k;while(scanf("%I64d %I64d %I64d %I64d",&A,&B,&C,&k)){if(!A && !B && !C && !k)break;__int64 a=C;__int64 b=B-A;__int64 n=(__int64)1<<k;  //2^k__int64 x,y;__int64 d=EXTENDED_EUCLID(a,n,x,y);  //求a,n的最大公约数d=gcd(a,n)和方程d=ax+by的系数x、yif(b%d!=0)  //方程 ax=b(mod n) 无解cout<<"FOREVER"<<endl;else{x=(x*(b/d))%n;  //方程ax=b(mod n)的最小解x=(x%(n/d)+n/d)%(n/d);  //方程ax=b(mod n)的最整数小解printf("%I64d\n",x);}}return 0;}

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