51nod 1190 最小公倍数之和 V2（莫比乌斯反演）

题意：

给定1<=a<=b<=109，求∑i=ablcm(i,b)？

分析：

∑i=ablcm(i,b)=∑i=abi∗bgcd(i,b)=b∗∑d∑a<=i<=bid∗(gcd(i,b)=d)=b∗∑d|b∑⌈ad⌉<=i<=bdi∗(gcd(i,bd)=1)=b∗∑d|b∑⌈ad⌉<=i<=bdi∗∑d′|gcd(i,bd)μ(d′)=b∗∑d|b∑d′|bdμ(d′)∑⌈ad⌉<=i<=bd,d′|ii=b∗∑d|b∑d′|bdμ(d′)∗d′∗(⌈⌈ad⌉d′⌉+⌊⌊bd⌋d′⌋)∗(⌊⌊bd⌋d′⌋−⌈⌈ad⌉d′⌉+1)2=b∗∑d|b∑d′|bdμ(d′)∗d′∗(⌈add′⌉+⌊bdd′⌋)∗(⌊bdd′⌋−⌈add′⌉+1)2=b∗∑d|b(⌈ad⌉+⌊bd⌋)∗(⌊bd⌋−⌈ad⌉+1)2∑d′|dμ(d′)∗d′

最后一步转化是另d=dd′。

做到最后发现需要枚举b的所有约数，此处我用dfs，上一次写的状压现在t掉了，因为枚举了好多重复的约数。b的约数做多不超过200个。还有一个问题，如何求f(d)=∑d′|dμ(d′)∗d′。

易知：f(d)是一个积性函数，f(p)=1−p,f(pk)=f(p)此处p为素数。
所以枚举约数d是，暴力判断b的所有不同的质因子是不是能够整除d，如果能的话，res=res∗f(p)=res∗(1−p)。

算一下复杂度：n分解质因数复杂度不超过o(n√)，dfs找n所有的约数，最大复杂度不超过o(256)，枚举约数，暴力判断是不是能够整除，o(256∗8)，n的不同约数个数不超过9个。
所以总的最大复杂度为o(T∗(n√+256∗8))，注意所有数据都达到不了这个复杂度。

下面是代码：

#include <bits/stdc++.h>#define LL long long#define FOR(i,x,y)  for(int i = x;i < y;++ i)#define IFOR(i,x,y) for(int i = x;i > y;-- i)using namespace std;const LL Mod = 1000000007;const int maxn = 100010;const LL inv = 500000004;LL a,b;int prime[maxn];bool check[maxn];int pri[35],pri_cnt,len[35];vector <int> fac;void Mobius(){    memset(check,false,sizeof(check));    prime[0] = 0;    FOR(i,2,maxn){        if(!check[i]){            prime[++prime[0]] = i;        }        FOR(j,1,prime[0]+1){            if(i*prime[j] >= maxn)  break;            check[i*prime[j]] = true;            if(i%prime[j] == 0) break;        }    }}void dfs(int res,int l){    if(l >= pri_cnt)    {fac.push_back(res);return;}    int tem = 1;    dfs(res,l+1);    FOR(i,1,len[l]+1){        tem *= pri[l];        dfs(res*tem,l+1);    }}void Get_Fac(){    pri_cnt = 0;    int b_c = b;    FOR(i,1,prime[0]+1){        if(prime[i]*prime[i] > b_c) break;        if(b_c % prime[i] == 0) {pri[pri_cnt++] = prime[i]; len[pri_cnt-1] = 0;}        while(b_c % prime[i] == 0)  {b_c /= prime[i];len[pri_cnt-1] ++;}    }    if(b_c > 1) {pri[pri_cnt++] = b_c; len[pri_cnt-1] = 1;}    fac.clear();    dfs(1,0);}void work(){    Get_Fac();    LL ans = 0;    FOR(i,0,(int)fac.size()){        int v = fac[i];        LL tt = a+v-1;        LL tem = (((tt/v+b/v)%Mod)*((b/v-tt/v+1+Mod)%Mod)%Mod)*inv%Mod;        LL res = 1;        FOR(j,0,pri_cnt){            if(v % pri[j])  continue;            LL t = (1-pri[j]+Mod)%Mod;            res = (res*t)%Mod;        }        ans += (res*tem)%Mod;        ans %= Mod;    }    ans = (ans*b)%Mod;    printf("%lld\n",ans);}int main(){    //freopen("test.in","r",stdin);    //freopen("out.txt","w",stdout);    Mobius();    int T;  scanf("%d",&T);    while(T--){        scanf("%lld%lld",&a,&b);        work();    }    return 0;}