51nod 1190 最小公倍数之和V2

题目大意：

给出2个数a, b，求LCM(a,b) + LCM(a+1,b) + .. + LCM(b,b)。
1<=a<=b<=10^9
T组数据,1<=T<=50000
且数据为随机，没有构造的卡人数据。

题解：

这一题我是不会的，去网上看了下题解，发现了一个奇怪的反演姿势。

必要结论：
∑d|nμ(d)=(n=1)
证明略。

Ans=∑bi=alcm(i)
=b∗∑d|b∑⌈ad⌉i=⌊bd⌋i∗(gcd(i,bd)=1)
=b∗∑d|b∑⌈ad⌉i=⌊bd⌋i∗∑d′|gcd(i,bd)μ(d′)
=b∗∑d|b∑d′|bdμ(d′)∗d′∗∑⌈ad⌉i=⌊bd⌋i∗(d′|gcd(i,bd))
=b∗∑d|b∑d′|bdμ(d′)∗d′∗∑⌈ad∗d′⌉i=⌊bd∗d′⌋i
=b∗∑d|b∑d′|bdμ(d′)∗d′∗(⌊bd∗d′⌋−⌈ad∗d′⌉+1)∗(⌊bd∗d′⌋+⌈ad∗d′⌉)/2
设T = d * d’
=b∗∑T|b(⌊bT⌋−⌈aT⌉+1)∗(⌊bT⌋+⌈aT⌉)/2∗∑d|Tμ(d)∗d
我们观察一下∑d|Tμ(d)∗d
狄利克雷卷积做了这么多，轻松可得:
若T=∏pqii,那么
∑d|Tμ(d)∗d=∏1−pi
在递归枚举约数的时候维护一下即可。
Code：

#include<stdio.h>#define ll long long#define fo(i, x, y) for(int i = x; i <= y; i ++)using namespace std;const ll mo = 1e9 + 7, ni_2 = 5e8 + 4;const int Maxn = 32000;bool bz[Maxn + 1];int T, a, b, z, i, u[35], v[35], p[3500];ll ans;void dg(int x, int d, ll s) {    if(x > u[0]) {        ll t1 = b / d, t2 = (a + d - 1) / d ;        ans += (t1 + t2) * (t1 - t2 + 1) * s;        return;    }    dg(x + 1, d, s);     s = s * (1 - u[x]);    fo(i, 1, v[x]) d *= u[x], dg(x + 1, d, s);}int main() {    for(i = 2; i <= Maxn; i ++) {        if(!bz[i]) p[++ p[0]] = i;        fo(j, 1, p[0]) {            int k = i * p[j]; if(k > Maxn) break;            bz[k] = 1; if(i % p[j] == 0) break;        }    }    for(scanf("%d", &T); T; T --) {        scanf("%d %d", &a, &b);        z = b; u[0] = 0;        for(i = 1; p[i] * p[i] <= z; i ++) {            if(z % p[i]) continue;            u[++ u[0]] = p[i]; v[u[0]] = 0;            while(z % p[i] == 0) v[u[0]] ++, z /= p[i];        }        if(z > 1) u[++ u[0]] = z, v[u[0]] = 1;        ans = 0;        dg(1, 1, 1);        printf("%lld\n", (ans % mo + mo) % mo * ni_2 % mo * b % mo);    }}