Leetcode Longest Palindromic Substring（最长回文字串）

Longest Palindromic Substring

Given a string S, find the longest palindromic substring in S. You may assume that the maximum length of S is 1000, and there exists one unique longest palindromic substring.
给出一个字符串S，找到一个最长的连续回文串。

解决方法

1 动态规划（DP solution） O(n^2)

定义方法
P[i,j] = 字符串区间[i,j]是否为palindrome.

首先找个例子，比如S=”abccb”,
S = a b c c b
Index = 0 1 2 3 4

P[0,0] = 1P[0,1] = S[0] == S[1]  , P[1,1] =1 P[0,2] = S[0] == S[2] && P[1,1], P[1,2] = S[1] == S[2] ,  P[2,2] = 1P[0,3] = S[0] == S[3] && P[1,2], P[1,3] = S[1] == S[3] && P[2,2] , P[2,3] =S[2] ==S[3],  P[3,3]=1     

………………….
由此就可以推导出规律

P[i,j] = 1  if i ==jP[i,j] = S[i] ==S[j]   if j = i+1P[i,j] = S[i] == S[j] && P[i+1][j-1]  if j>i+1

JAVA实现如下：

private String longestPalindrome(String s) {    int len = s.length();    boolean[][] p = new boolean[len][len];    int maxLength = 0, start = 0, end = 0;    for (int i = 0; i < len; i++) {        for (int j = 0; j < i; j++) {            p[j][i] = (s.charAt(j) == s.charAt(i) && (i - j < 2 || p[j + 1][i - 1]));            if (maxLength < (i - j + 1)) {                maxLength = i - j + 1;                start = j;                end = i;            }        }        p[i][i] = true;    }    return s.substring(start, end);}

2 Manacher’s ALGORITHM: O(n)

首先用一个非常巧妙的方式，将所有可能的奇数/偶数长度的回文子串都转换成了奇数长度：在每个字符的两边都插入一个特殊的符号。比如 abba 变成 #a#b#b#a#， aba变成 #a#b#a#。
下面以字符串12212321为例，经过上一步，变成了 S[] = “$#1#2#2#1#2#3#2#1#”;

然后用一个数组 P[i] 来记录以字符S[i]为中心的最长回文子串向左/右扩张的长度（包括S[i]，也就是把该回文串“对折”以后的长度），比如S和P的对应关系：

S  #  1  #  2  #  2  #  1  #  2  #  3  #  2  #  1  #P  1  2  1  2  5  2  1  4  1  2  1  6  1  2  1  2  1(p.s. 可以看出，P[i]-1正好是原字符串中回文串的总长度）

那么怎么计算P[i]呢？该算法增加两个辅助变量（其实一个就够了，两个更清晰）id和mx，其中id表示最大回文子串中心的位置，mx则为id+P[id]，也就是最大回文子串的边界。

然后可以得到一个非常神奇的结论，这个算法的关键点就在这里了：如果mx > i，那么P[i] >= MIN(P[2 * id - i], mx - i)。实际上如果把它写得复杂一点，理解起来会简单很多：

//记j = 2 * id - i，也就是说 j 是 i 关于 id 的对称点。if (mx - i > P[j])     P[i] = P[j];else /* P[j] >= mx - i */    P[i] = mx - i; // P[i] >= mx - i，取最小值，之后再匹配更新。

当然光看代码还是不够清晰，还是借助图来理解比较容易。

当 mx - i > P[j] 的时候，以S[j]为中心的回文子串包含在以S[id]为中心的回文子串中，由于 i 和 j 对称，以S[i]为中心的回文子串必然包含在以S[id]为中心的回文子串中，所以必有 P[i] = P[j]，见下图。

当 P[j] >= mx - i 的时候，以S[j]为中心的回文子串不一定完全包含于以S[id]为中心的回文子串中，但是基于对称性可知，下图中两个绿框所包围的部分是相同的，也就是说以S[i]为中心的回文子串，其向右至少会扩张到mx的位置，也就是说 P[i] >= mx - i。至于mx之后的部分是否对称，就只能老老实实去匹配了。

对于 mx <= i 的情况，无法对 P[i]做更多的假设，只能P[i] = 1，然后再去匹配了。
那么这个结论就可以跳过很多不必要的判断

于是代码如下：

public class Solution{    public String getManacherString(String str){        StringBuilder sb=new StringBuilder("$");        int n=str.length();        for(int i=0;i<n;i++){            sb.append("#").append(str.charAt(i));        }        sb.append("#");        return sb.toString();    }    public String longestPalindrome(String s){        String newStr=getManacherString(s);        int len=newStr.length();        int[] radiusArray=new int[len];        int end=0;        int index=0;        int maxLen=0;        int maxIndex=0;        for(int i=1;i<len;i++){            if(end>i){                radiusArray[i]=Math.min(radiusArray[2*index-i], end-i);            }else{                radiusArray[i]=1;            }            while(i+radiusArray[i]<len&&i-radiusArray[i]>=1){                if(newStr.charAt(i+radiusArray[i])==newStr.charAt(i-radiusArray[i])){                    radiusArray[i]++;                }else{                    break;                }            }            if(radiusArray[i]+i>end){                end=radiusArray[i]+i;                index=i;            }            if(radiusArray[i]>maxLen){                maxLen=radiusArray[i];                maxIndex=i;            }        }        StringBuilder sb=new StringBuilder();        for(int i=maxIndex-maxLen+1;i<maxIndex;i++){            if(newStr.charAt(i)!='#'){                sb.append(newStr.charAt(i));            }        }        String resultStr=sb.toString();        if(newStr.charAt(maxIndex)!='#'){            resultStr+=newStr.charAt(maxIndex);        }        resultStr+=sb.reverse().toString();        return resultStr;    }}

github地址 LongestPalindromic