【动态规划】完全背包、多重背包

完全背包

问题

有N种物品和一个容量为V的背包，每种物品都有无限件可用。第i种物品的费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。

解析

动态规划解：
dp[i][j]是：在前 i 件物品中选择若干件放在所剩空间为 j 的背包里所能获得的最大价值；
状态转移方程：
dp[i][v]=max{ f[i-1][v-k*c[i]]+k*w[i] | 0 <= k*c[i] <= v}
但是，这里并不能在常数时间内求出k。所以，我们需要寻求更好的办法解决，通过查阅一般有两种方法优化，一种是转化成01背包问题（还是很麻烦），另一种是O（VN）的解法，这里我介绍后面一种。

实现

 for (int i = 1; i <= N; i++)     for (int v = 0; v <= V; v++)         f[v] = max(f[v], f[v - c[i]] + w[i]);

仔细看你会发现这个跟01背包空间优化后的的代码只有V的循环次数不同。因为01背包中要保证第i次循环中的状态f[i][v]是由状态f[i-1][v-c[i]]递推而来的。而完全背包相反：现在完全背包的特点恰是每种物品可选无限件，所以在考虑“加选一件第i种物品”这种策略时，却正需要一个可能已选入第i种物品的子结果f[i][v-c[i]]，所以就可以并且必须采用v=0..V的顺序循环。

多重背包

问题

有N种物品和一个容量为V的背包。第i种物品最多有n[i]件可用，每件费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。

解析

这题目和上面的完全背包问题很类似。基本的方程只需将完全背包问题的方程略微一改即可，因为对于第i种物品有n[i]+1种策略：取0件，取1件……取n[i]件。令f[i][v]表示前i种物品恰放入一个容量为v的背包的最大权值，则有状态转移方程：
f[i][v]=max{f[i-1][v-k*c[i]]+k*w[i]|0<=k<=n[i]}
同时，问题也和完全背包一样，过于复杂！

同样，可以转换成01背包问题和O(VN)的时间复杂度解决，但是，非常复杂，在此贴出一个较好的解法，参考而已。

#include <iostream>using namespace std;int nCases;int nValue, nKind;int value[105], weight[105], bag[105];int nMultiplePack[105];int main(){    //freopen("input.txt", "r", stdin);    scanf("%d", &nCases);    while(nCases--)    {        memset(nMultiplePack, 0, sizeof(nMultiplePack));        scanf("%d %d", &nValue, &nKind);        for(int i=0; i<nKind; ++i)            scanf("%d %d %d", &value[i], &weight[i], &bag[i]);        for(int i=0; i<nKind; ++i)            for(int j=0; j<bag[i]; ++j)                for(int k=nValue; k>=value[i]; --k)                    if(nMultiplePack[k] < nMultiplePack[k-value[i]]+weight[i])                        nMultiplePack[k] = nMultiplePack[k-value[i]] + weight[i];        printf("%d\n", nMultiplePack[nValue]);    }    return 0;}