完全背包---动态规划

描述

直接说题意，完全背包定义有N种物品和一个容量为V的背包，每种物品都有无限件可用。第i种物品的体积是c，价值是w。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的体积总和不超过背包容量，且价值总和最大。本题要求是背包恰好装满背包时，求出最大价值总和是多少。如果不能恰好装满背包，输出NO

输入

第一行： N 表示有多少组测试数据（N<7）。 
接下来每组测试数据的第一行有两个整数M，V。 M表示物品种类的数目，V表示背包的总容量。(0<M<=2000，0<V<=50000)
接下来的M行每行有两个整数c，w分别表示每种物品的重量和价值(0<c<100000，0<w<100000)

输出

对应每组测试数据输出结果（如果能恰好装满背包，输出装满背包时背包内物品的最大价值总和。 如果不能恰好装满背包，输出NO）

样例输入

21 52 22 52 25 1

样例输出

NO1

做这题之前必须先了解0-1背包，并知道解题思路

0-1背包的状态转移方程是

for i = 1 to Nfor v = V to CiF [v] = max{F [v],F [v − Ci] + Wi}
完全背包就是不限制物品使用个数，可以无限使用，也就是可以重复放置一个物体

转移方程

for i = 1 to Nfor v = Ci to VF [v] = max(F [v], F [v − Ci] + Wi)
你会发现，这个伪代码与01背包问题的伪代码只有v的循环次序不同而已。为什么这个算法就可行呢？首先想想为什么01背包中要按照v递减的次序来循环。让v递减是为了保证第i次循环中的状态F [i, v]是由状态F [i − 1, v − Ci]递推而来。换句话说，这正是为了保证每件物品只选一次，保证在考虑“选入第i件物品”这件策略时，依据的是一个绝无已经选入第i件物品的子结果F [i −1, v − Ci]。而现在完全背包的特点恰是每种物品可选无限件，所以在考虑“加选一件第i种物品”这种策略时，却正需要一个可能已选入第i种物品的子结果F [i, v − Ci]，所以就可以并且必须采用v递增的顺序循环。这就是这个简单的程序为何成立的道理。
还要补充一点关于d数组初始化的问题，

因为题中要求必须完全装满背包，也就是最后背包剩余体积为0才可以

所以我们初始化的d[0]  = 0；其他的都初始化为负无穷

#include <stdio.h>#include <algorithm>#define INF -99999999using namespace std;int d[50005];int a[2005];int w[2005];int main(){int t;scanf("%d", &t);while (t--){int n, v;scanf("%d%d", &n, &v);d[0] = 0;for (int i = 1; i <= v; i++)d[i] = INF;for (int i = 0; i < n; i++){scanf("%d%d", &a[i], &w[i]);}for (int i = 0; i < n; i++){for (int j = a[i]; j <= v; j++){d[j] = max(d[j], d[j - a[i]] + w[i]);}}if (d[v] < 0)printf("NO\n");elseprintf("%d\n", d[v]);}return 0;}