求解最大子数组问题的三种方法

标签（空格分隔）： 算法 分治 最大子数组

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算法导论中有这样一个例子来引出最大子数组问题：
在股市中，人们为了获取更大利益，希望“低价买进，高价卖出”，从而获得最大收益。然而，简单的以最低价格买入，最高价格卖出并不能获得最大收益。我们可以不直接观察每日股票的价格，而是考虑每日股票的价格变化值。第i天的价格变化值定义为第i天的价格减去第i−1天的价格。如果将这些值看成一个数组A，那么，问题就是求A的和最大的非空连续子数组，即最大子数组（maximum subarray）。

• 输入：数组A={13,−3,−25,20,−3,−16,−23,18,20,−7,12,−5,−22,15,−4,7}
• 输出：最大子数组的和 43

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• 暴力解法

  • 算法思想
    枚举数组中所有连续子序列的和，并求出其中的最大值。

  • 代码

    int max_sub_array_tolient(int a[],int n){int this_sum;int max_sum = 0;for(int i=0;i<n;i++){    for(int j=i;j<n;j++){    this_sum = 0;    for(int k = i;k<=j;k++){        this_sum += a[k];        if(this_sum>max_sum)            max_sum = this_sum;    }}}return max_sum;}

  • 算法分析
    很明显，上述代码嵌套三层循环，需要的时间复杂度为O(n3).

• 分治解法
  分治法（divide andconquer）是一种基于多分枝递归的算法范式。顾名思义，分治就是“分而治之”，即将原问题分解为两个或多个子问题，直到分解为不能分解的子问题，然后将这些问题合并成原问题的解。

  • 算法思想
    假设我们要寻找A[low...high]的最大子数组。我们需要将子数组划分为两个规模大致相等的子数组。即我们将数组A[low...high]划分为A[low...mid]和A[mid+1...high],其中mid=(low+high)/2。那么，A[low...high]中所有连续子数组A[i...j]所处的位置一定是下面三种情况之一。
    
    • 完全位于子数组A[low...mid]中，其中，low<=i<=j<=mid。
    • 完全位于子数组A[mid+1...high]中，其中，mid+1<=i<=j<=high
    • 既位于子数组A[low...mid],又位于A[mid+1...high]中，其中low<=i<=mid<=j<=high.

由上述知，最大子数组必然位于子数组A[low...mid]，或子数组A[mid+1...high]，或跨越中点(mid)的子数组中。我们可以递归的求解子数组A[low...mid]与子数组A[mid+1...high]的最大子数组。最后，求跨越中点(mid)的最大子数组。
跨越中点的子数组一定由A[i...mid]和A[mid+1...j]组成。所以我们只需分别求出形如A[i...mid]和A[mid+1...j]的最大子数组，然后将其合并。

 - 代码

    int max_sub_array(const int a[],int left,int right){    if(left == right){        if(a[left]>0)            return a[left];        else            return 0;    }    int mid = (left+right)/2;    //recursion    int max_sum_left = max_sub_array(a,left,mid);    int max_sum_right = max_sub_array(a,mid+1,right);    int left_sum = 0;    int sum = 0;    for(int i = mid;i>=left;i--){        sum += a[i];        if(sum>left_sum)            left_sum = sum;    }    int right_sum = 0;    sum = 0;    for(int i = mid+1;i<=right;i++){        sum += a[i];        if(sum>right_sum)            right_sum = sum;    }    return max(max_sum_left,max_sum_right,left_sum+right_sum);}

• 算法分析
  现在我们来分析上述算法的时间复杂度。假设总的耗费时间为T(n)。
  由上述代码，第2~8行耗费常数时间，即O(1)。第10~11行，求解n/2个元素的子数组所耗费的时间为T(n/2)。第13~27行，求解跨越中点(mid)的最大子数组的时间复杂度为O(n).所以，T(n)=O(1)+2T(n/2)+O(n)。最后，求解该递归式，得时间复杂度为O(nlgn)。

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• online algorithm

利用online algorithm的思想，可以在线性时间内求得这个问题的解。

• 算法思想：

  从数组第一个元素开始，扫描数组，记录到目前为止处理过的最大数组。若已知A[1...j]的最大子数组，那么，下一步求A[1...j+1]的最大子数组。此时，有两种情况：

  A[1...j+1]的最大子数组就是A[1...j]的最大子数组；
  A[1...j+1]的最大子数组为某个子数组A[i...j+1](1<=i<=j+1)。

在知道A[1...j]的最大子数组情况下，可以在线性时间内找出形如A[i...j+1]的最大子数组。具体实现，看下面代码。

• 代码

  int max_subarray_online(int a[],int n){int max_sum = 0;int this_sum = 0;for(int j = 0;j<n;j++){    this_sum += a[j];    if(this_sum>max_sum){        max_sum = this_sum;    }else if(this_sum < 0){        this_sum = 0;    }}return max_sum;}

• 算法分析

很明显，上述算法的时间复杂度为O(n)。

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• 参考资料
  1:Introduction to Algorithms
  [2]:Data Structures and Algorithm Analysis in C

  [2]:Introduction to Algorithms