求解最大子数组问题

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摘要

本小节中主要讨论暴力法和分治法在求解最大子数组的应用。

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最大子数组问题

问题的背景提出（转载：算法导论）：

在连续17天股价变化如下图，问何时买入和卖出可以获得最大的利润.

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暴力法

寻找出任意两天的价格，两者作差，比较差的最大值。此时会出现一个与时间有关的错误，可能在日期在后的股价高，日期在前的股价低，那么不存在现低价卖后高价卖出的现象。

我们这里考虑差分式：每一天的价格都和它前一天的价格作差

此时，要求解利润最大化的问题 ==> 即转化为求连续子数组和的最大值。

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暴力破解代码块

/** C/C++ 语言** @author Erice_s* @date 2017/10/14**/#include <cstdio>#include <iostream>#include <stdlib.h>using namespace std;void Force_Search(int *a,int len){    if (len <= 0 || a == NULL)        return;    int sum = 0, Arraysum = 0;    int k, l,i,j;    for ( i = 0; i < len; i++)    {        sum = a[i];        if (sum >= Arraysum)        {            Arraysum = sum;            k = i;        }        for ( j = i + 1; j < len; j++)        {            sum += a[j];            if (sum >= Arraysum)            {                Arraysum = sum;                k = i;                l = j;            }        }    }    printf("the maxnum of Array:%d ,low SUB:%d ,high SUB:%d\n",Arraysum,k,l);}int main(void){    int a[] = {13,-3,-15,20,-3,-16,-23,18,20,-7,12,-5,-22,15,-4,7};    int len = sizeof(a) / sizeof(*a);    Force_Search(a, len);    system("pause");    return 0;}

代码运行结果

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暴力法的算法复杂度

        O(n^2)

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分治法求解最大子数组问题

思路分析

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伪代码分析

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分治法求解最大数组问题代码块

/** C/C++ 语言** @author Erice_s* @date 2017/10/14* * 参数说明：*    a -- 差分处理后的数组*    first -- 数组下标最小的数*    last -- 数组下标最大的数*    m -- 最大子数组序列下标的最小值*    n -- 最大子数组序列下标的最大值* */#include <cstdio>#include <iostream>#include <stdlib.h>using namespace std;int find_Cross_MaxArry(int *a, int first, int mid, int last,int *m/*in out*/, int *n/*in out*/){    int l_Arraysum = 0, r_Arraysum = 0;    int mid_Arraysum;    int i, sum = 0;    *n = mid;    for (i = mid; i >= first; i--)    {        sum += a[i];        if (sum >= l_Arraysum)        {            l_Arraysum = sum;            *m = i;        }    sum = 0;    for (i = mid + 1; i <= last; i++)    {        sum += a[i];        if (sum >= r_Arraysum)        {            r_Arraysum = sum;            *n = i;        }    }   mid_Arraysum = l_Arraysum + r_Arraysum;   return mid_Arraysum;}int find_MaxArry(int *a, int first, int last,int *m/*in out*/,int *n/*in out*/){    if (a == NULL || first >last)        return -1;    if (first == last)        return a[first];    int mid = (first & last) + ((first^last) >>1);    int l_Arraysum = find_MaxArry(a, first, mid, m, n);    int r_Arraysum = find_MaxArry(a, mid + 1, last,m,n);    int mid_Arraysum= find_Cross_MaxArry(a, first, mid, last,m,n);    if (mid_Arraysum >= l_Arraysum && mid_Arraysum >= r_Arraysum)        return mid_Arraysum;    else if (mid_Arraysum <= l_Arraysum && l_Arraysum >= r_Arraysum)        return l_Arraysum;    else        return  r_Arraysum;}int main(void){    int a[] = { 13, -3, -15, 20, -3, -16, -23, 18, 20, -7, 12, -5, -22, 15, -4, 7 };    int len = sizeof(a) / sizeof(*a);    int m = 0, n = 0;    printf("maxArray=%d\n", find_MaxArry(a, 0, len - 1, &m, &n));    while (m <= n)   //打印最大子数组和的序列    {        cout << "a[i]下标:" << m << " a[i]:" << a[m] << "\n";        m++;    }    system("pause");    return 0;}

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代码运行结果

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分治法求解最大数组问题算法分析

T(n)=2T(n/2)+Θ(n)+Θ(1)
原问题的可以划分为两个子问题:最大子数组序列全部都在[first,mid]中，全部在[mid+1,last]中，即2T(n/2)，还有一种情况最大子数组分跨mid的两端。此时由FIND_MAX_CROSSING_SUBARRA中的伪代码值其运行复杂度为Θ(n)，系统其他消耗为Θ(1)。
根据主定理，满足CASE2,其算法复杂为Θ(nlgn)，优于暴力求解法。