高斯传记资料（2012-12-01 20:54:55）



以高斯命名的数学概念、定义、定理有n项。高斯数域Q(i)或Z[i]所在的二次域、高斯整数、高斯整数环Z[i]或复整数环、高斯整环或UFD、高斯素数（Gaussian primes） 、正态分布曲线或高斯曲线、复平面或高斯平面、高斯曲率 、高斯-邦内公式、高斯-博内特-陈省身公式或高斯-博内特-陈省身定理、高斯映射、高斯特征方程、高斯-科达齐方程、高斯-科达齐-迈因纳尔迪公式、高斯消元法、高斯-若尔当消去法、高斯求积法（高斯-切比雪夫、高斯-勒让德、高斯-雅可比、高斯-埃尔米特、高斯-拉盖尔)
交换代数中的高斯定理：若R为UFD，则R[x]亦然。

高斯经典文章及相关数学工作汇编http://www.docin.com/p-346416266.html
高斯的《算术研究》出中文版（2012.7）了，书名译作《算术探索》，译者：潘承彪  张明尧
有一百多页是高斯的传记。
据称《算术探索》是74岁的潘承彪（著名的二潘之一）主译，参考了拉丁文（1801）、法文（1807）、俄文（1959）版本。
高斯的第一部杰作，该书写于1797年，1801年正式出版。在随后的211年时间中被翻译成多国文字，如德文（1889）、俄文（1959）、英文（1965）等。这部著作在数学中的重要地位不亚于《圣经》在基督教中的地位，只有欧几里得的《几何原本》堪与之相比。因为高斯有一句名言：“数学是科学的女皇，数论是数学的女皇。”本书的出版终于结束了这本数论圣经没有中文版的历史。
高斯的《算术研究》值得拥有，因为古往今来的数学家仅有两个人的天赋可以与他相比，阿基米德和牛顿，而高斯活得更久，从而取得更加充分的个人成就。阿基米德代表了古代的科学成就，牛顿是高等数学的创立者，而高斯则代表了数学上一个新时代的来临。
高斯的这本书历代数论学者都奉为经典一读再读，以与高斯同时代的人为例。
如狄利克雷，他曾深入钻研《算术研究》，正是由于他对《算术研究》的详细注疏，此书才得以逐渐为广大数学家理解。（1849年）在庆祝高斯博士论文发表50周年大会上高斯正要拿《算术研究》的一张手稿点烟斗时，狄利克雷手疾眼快，赶紧抢了下来，并终生珍藏，他旅行时带着，睡觉时放到枕下，上床之前，总要读几段，希望醒来后重读时能完全明白。
如贝塞尔，当高斯送给贝塞尔一本《算术研究》时，贝塞尔非常用功地研读此书，以致书都散了架，还得重新装订。
如女数学家热尔曼，她是在深入钻研了《算术研究》之后，化名勒布朗与高斯通信，并在费马猜想中取得了一项有意义的成果。
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索菲·热尔曼（Sophie Germain）1776年生于巴黎，为富家女。由于当年的大学都不招女生，她曾冒名“勒布朗”（该生注册后又离开了）在巴黎综合工科大学学习数学。勒布朗本是糟透的“差生”，而热尔曼接手后的“勒布朗”上交的习题解答很是巧妙非凡。老师拉格朗日要求面谈“勒布朗”。女儿身暴露，拉格朗日对她倍加赏识，并自愿当了她的教父和数学顾问。数年后，热尔曼更上层楼，以“勒布朗”之名同高斯交流了一些很有水平的数论问题。1806年，法军攻占高斯所在地不伦瑞克时，热尔曼托朋友前线指挥官帕尼提将军保证高斯的安全。
...
索菲·热尔曼的死亡证明书：“索菲.热尔曼，死于1831年6月27日，无职业未婚妇女。”
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如艾森斯坦，由于出版商的破产，他从来未能拥有一本，所以不得不从头到尾抄录了全书。
1914-1919年，在哥廷根讲授19世纪数学发展的菲利克斯·克莱因在其讲座中曾这样评价高斯：如果我们现在询问这个人不同寻常和独一无二的品质，回答一定是：在每一个所从事的领域内所取得的最伟大的个人成就与最宽广的多才多艺的结合；在数学上的创造性，追寻数学发展的力度和对其实际应用的敏感的完美结合，这包括精确无误的观察和测量；最后是对这种伟大的自我创造财富的最精炼的表达。
摘录自维基百科：
《算术研究》（Disquisitiones Arithmeticae）是德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯于1798年写成的一本数论教材，在1801年他24岁时首次出版。全书用拉丁文写成。在这本书中高斯整理汇集了费马、欧拉、拉格朗日和勒让德等数学家在数论方面的研究结果，并加入了许多他自己的重要成果。
写作历史
高斯在1796年就准备写一本数论的著作。一年后，他完成了初稿。1797年11月，高斯开始对初稿进行重写和修订，使之成为可以打印出来的成熟版本。打印工作于1798年4月开始，但由于机器的原因，速度缓慢。然而这也使得高斯有时间补充一些新的内容，特别是第五章的二次互反律的部分：1801年夏季最终出版时的长度已经是初稿时的两倍。
主题
《算术研究》包括了初等数论和现在称为代数数论领域的一部分。然而，高斯在书中并未认识到抽象代数的核心：群的概念，因此没有加以应用。高斯将这本书的主题定位为他所称的“高等算术”。在这本书的序言一开头，高斯明确地说到：
“ 本书将要研究的问题属于数学中如下的一部分：其考虑的对象只限于整数，偶尔涉及分数，但绝对与无理数无关。”
内容
全书有655页，分为七个部分共335篇文章，由浅入深，从同余理论起步，探讨了同余齐次式、同余方程和二次剩余理论。在二次剩余理论中，高斯在前人的基础上首次给出了二次互反律的证明。其后高斯又得出了双二次互反律和三次互反律，并对所谓的高斯整数进行了研究，得到了代数数论的一些基本成果。
第一部分：同余概论。建立了到今天仍在使用的同余的概念和记号。
第二部分：主要研究线性同余方程，给出了算术基本定理、辗转相除法、中国剩余定理等初等数论的基本结果。
第三部分：“幂剩余论”。讨论了费马小定理、原根的存在性和威尔逊定理。
前三部分的内容大都是其他数学家的成果，但高斯是首个将这些成果系统地汇集在一本书里的人。他也是首个意识到唯一分解定理之重要性的人。
进入第四部分后，大部分内容便是高斯的原创了。
第四部分：“二次同余论”。重点讨论了二次剩余的理论。高斯提出了他视为“从中可以推得几乎所有与二次剩余有关的东西”的“基础定理”的二次互反律：
如果p是形式为4n+1，那么p（如果p是形式为4n+3那么-p）是模每个为模p的二次剩余（非剩余）的质数的二次剩余（非剩余）。
高斯将这个命题分成多个单独情况，然后用归纳法给出了第一个证明，并运用这个定理得到了一些基本结果。
第五部分： “二次型与二次不定方程”。这一部分占据了全书的一半有多，高斯研究了模p同余中的整系数二次型以及二次型本征等价的性质，得到了整数表示为二次形式的一般规律。之后高斯又研究了二次型的分类以及约简。并触及了双二次互反律和三次互反律的研究。
第六部分： 前五章结论的应用。前五章，特别是第四、五章得到的丰富成果使得在这章用来解决很多问题。高斯讨论了分数分解，十进展开以及二次同余的问题，并提出了两个素性检验的方法。
第七部分： 分圆多项式和尺规作图。高斯探求了尺规作圆内接正多边形的方法，并给出了圆内接正19边形和正17边形的作法。并得到了所谓的“高斯和”的概念以及一些相关成果。
高斯曾经写过《算术研究》的第八部分，探讨更高次的同余方程，但并没能完成。草稿在他逝世后分批出版。
影响
在《算术研究》发表以前，数论研究只是一些孤立定理与猜想。高斯首次将这些零星的结果加以系统的处理，修补和改进了以往的证明，并在此之上发展出了自己的一系列理论与成果。《算术研究》是现代数论研究的开端。
《算术研究》一书的逻辑结构——声明定理、给出证明，然后给出系理或推论——为以后的教科书编写提供了一个榜样，成了后世教材的标准结构。为了使读者能够理解证明的逻辑思路，高斯在证明后会给出相应的例子，这一点也为后来的教材所采用。
《算术研究》亦是十九世纪欧洲数学家如库默尔、狄利克雷和戴德金等人著书的出发点。他们继承了高斯的研究。许多《算术研究》中的评注和没有证明的命题成为了新的研究热点。即使到了二十世纪，《算术研究》仍在产生影响。比如第五部分中高斯简要地叙述了他关于虚二次域类数的计算，并猜想他已经找到了所有类数为1、2和3的虚二次域。这个后来称为类数问题的猜想直到1986年才获得了肯定的答案。同样在第五部分，高斯证明了可以被解释为黎曼猜想的第一类非平凡情况：哈斯-韦伊定理。
译本和相关著作
《算术研究》虽然是一部十分重要的数论著作，但由于全书以拉丁文写就，内容深奥难懂，因此将其翻译成各国语言和进行注释阐述的工作一直不断。1807年，《算术研究》的法文译本出版。1863年，狄利克雷写了《数论讲义》（Vorlesungen über Zahlentheorie）一书，对《算术研究》作了明晰的阐释。1889年德文译本出版。1959年出版了俄文译本；1965年出版了英文版。
引用
《算术研究》常常被引用，出现在各种数学论文、著作和教材的注释中。引用时一般简写为“DA”。
评价
“高斯曾说：‘数学是科学的女皇，数论则是数学的女皇。’如果这是真理，我们还可以补充一点：《算术研究》是数论的宪章。”——莫里茨·康托
“此书（《算术研究》）是一座不朽的丰碑，揭示了人类思想所能达到的浩瀚的广度和令人惊叹的深度。”——爱德华·卢卡斯
“众书之王”——利奥波德·克罗内克
“高斯首次将数学的这个部分（数论）变成了一门独立的科学，而《算术研究》则是第一部详尽而系统的著作。……由于雅可比和狄利克雷……这本二十年来一直被七道漆封的著作成为了当代的数学。……封漆还未完全解开。”——约翰·西奥多·梅兹
“数论曾一度止步不前，……这就是为什么深奥而新颖的《算术研究》预示着高斯将成为欧洲最伟大的头脑之一。”——路易·潘索
“数学推导就像在造楼，当建筑完工后，不会把脚手架留在原地。”——高斯
“它像一只狡猾的狐狸用尾巴扫去了雪地上的痕迹让猎人无法追踪。”——阿贝尔
“了解前人是如何思想的，比了解他们如何做的更重要。”——伏尔泰
“以学心读，以平心取，以公心述”——萧公权

1986年出版的一本中文版高斯传记http://book.chaoxing.com/ebook/read_11143815.html
哥廷根大学是在1737年由英王乔治二世所建立的，所以又名乔治奥古斯塔大学。1795年十月十五日，高斯获准进入乔治奥古斯塔，成为一名数学系学生。
最初的独立研究；素数及有关素数分布高斯的猜测
算术级数和的公式：∑[k=1->n]k=n(n+1)/2
用x=61做例子，小于或等于sqrt(61)的素数，有p=2,3,5,7。因为这些p都不整除61，所以61是个素数。

π(10)=4表示小于或等于x=10的素数有4个：2,3,5,7。
π(31)=11表示小于或等于x=31的素数有11个：2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31。
又如
π(5)=3，π(10)=4，π(20)=8，π(30)=10，π(40)=12，π(50)=15，π(60)=17，π(70)=19，π(80)=22，π(90)=24，π(100)=25，π(500)=95，π(1000)=168，π(5000)=669，π(10000)=1229，π(100000)=78498

在1792到1793年间，高斯大约十五岁的时候，他利用瑞士数学家Johann Lambert所发表的素数表来研究素数的分布。
大致说来（但不是绝对的），D(x)随x增大而渐渐减小，这就是说素数的分布随着自然数的增大而愈来愈稀。经高斯进一步的研究，D(x)和x的自然对数logx成反比。十五岁的高斯对素数分布的猜测如下：π(x)大概等于∫[2,x](1/logn)dn。
∫[100,200](1/logn)dn≈100*0.2大约等于π(200)-π(100)=21，即100到200之间素数的个数。
1796年奥地利数学家Vega发表了400031以下的素数表。这个表使高斯对他自己的猜测更具信心。
1896年，比利时数学家de la Valle-Poussin和法国数学家哈达玛各自证明了
π(x)=∫[2,x](1/logn)dn-R(x)，式中的R(x)表示误差，他们两人证明了R(x)要比积分值小得多，但这并不表示|R(x)|不会随x的增加而变得很大。
通常，f(x)~g(x)表示x趋近于无穷大时，f(x)/g(x)趋近于1。 但请注意，一般而言，f(x)~g(x)并不表示当x趋近于无穷大时，f(x)-g(x)要趋近于0。
由π(x)~∫[2,x](1/logn)dn，利用微积分我们很容易导出π(x)~x/logx这个结果。高斯也发现了这个公式，但他认为后一个公式比前一个公式差劲，因为就误差而言，前一公式的要比后一公式的小。
高斯的想法是对的，但后一公式比较简单，这就是通常所说的素数定理。这个定理说，小于或等于一个正数的素数个数大约等于该正数与其自然对数之比值。由素数定理可推知：第n个素数P_n大约和nlogn相等，即P_n~nlogn。

杂记：高斯的数学结果在此宣布
高斯的杂记直到1898年才被发现。这是一本19页八开本的小书，它涵盖了1796年三月三十日至1814年七月九日这段期间。全部加起来共有146个很短的新见，其中有数值计算结果，也有简单的数学定理。
高斯在倡导证明方法的逻辑严密性方面，其最大的贡献是给了代数基本定理几个不同的证明。这个定理在代数与函数理论两方面都深具意义，而且都有深远的影响。
1807年，他当上格丁根的天文观测台长之职后，他的经济获得独立。

曲面之内蕴几何，曲面方程式之参数表示法
高斯对于曲面理论的研究工作与下列两方面有关联：一方面是对于实际上测地度量的研究，另一方面是对于几何基础的探讨。
曲面的研究是属于所谓微分几何的领域，这领域是由阿基米德创始的。阿基米德算出了球的体积及球的表面积，他也算出了一段抛物线绕轴旋转所产生的旋转曲面的面积。
公元前212年，在Syracuse的战役中，阿基米德被罗马士兵杀死之后，二千多年来，就没有人再继续他的工作。
17世纪与18世纪中，由于解析几何及微积分的发展，这一方面的研究又有了进步。几乎所有的伟大数学家，对于曲线或曲面的研究都有一些贡献。他们研究切线、法线、面积、体积、曲线长度及曲率等等的问题。
高斯利用了一个新的原理，即曲面的内蕴性质，也就是说，那些只在曲面上作研究即可以获得的性质，而与曲面所位处的三维空间无关。他致力于研究曲面的局部性质，自此以后，这个原理一直支配着微分几何与拓扑学的发展。
高斯新的内蕴几何，与他的空间曲面方程式的表示法有密切关系。
我们知道单位圆的方程式可以写为：x^2+y^2-1=0。
但是从三角的定义可以得到x=cosv且y=sinv，其中v表示角度POA，P是单位圆上任意点。
一般形式为x=f(v)且y=g(v)，其中f,g是变数v的函数，一般而言称v为参数。因此我们得到单位圆的参数表示法。
根据毕达哥拉斯定理，我们可以证明单位球面即以坐标系统的原点为中心，1为半径的球面；其方程式为x^2+y^2+z^2-1=0。
这方程式的一般形式为F(x,y,z)=0。
空间的曲面即泛指由此种关系式所定义者。
但是球面方程式亦可以用参数法表示：x=cosucosv且y=cosusinv且z=sinu，其中u是指任一点的纬度，v是指此点的经度。以航海而言，我们并不以相交于地球球心的三个互相垂直的轴为坐标系统，而是用经度与纬度。经度与纬度是球面上的“自然坐标”。一般形式写为x=f(u,v)且y=g(u,v)且z=h(u,v)。其中u，v为两参数，称为曲面上一点的曲线坐标（curvilinear coordinates）。现在明显地，空间曲面理论的基本量可以藉著u与v表示出来。
1822年，高斯在一篇的论文里，利用了曲面的参数表示法解答了一个丹麦科学院的问题：如何将一曲面映至另外一曲面，使得映像曲面上的细微小片相似于原来曲面上对应的小片。
后来高斯将具有这些性质的映射定名为保角映射（conformal mapping），舍弃了他先前所用的“在细微小片上相似”这个名词。如此定义的一个保角变换蕴涵着保持角度不变。
保角变换的观念是一个很老的观念也是一个很有用的观念。Mercator射影的观念从1569年开始，到现在一直用于航海图上；地球上两个点的等纬角线（loxodrome）是指与子午线相交成固定一角度的曲线，此即此两点的罗盘方向。在Mercator射影之下，等纬线映成直线；因此沿着等纬角线进行的一条船，在海图上是沿着直线进行的。
关于平面上一区域映至另外一区域的保角变换，解析函数占了一个很重要的地位，这点我们将在以后提到。 解析函数的理论最初是由高斯提出的，但是由其他人发展而成。
平面曲线及空间曲线之曲率
高斯在微分几何上最重要的工作是1827年登载的一篇论文：曲面的一般研究。
在这篇文章里所引入的，曲面上一点的曲率半径这观念，在曲面论上占了极其重要的地位。为了介绍这个观念，我们从平面曲线的曲率开始。
当我们要研究空间曲面在P点的曲率时，我们先画出在P点的法线PN，此线垂直于在曲面上P点的切平面。然后我们考虑包含PN的各平面与曲面相交所得的所有曲线；这样子得到的曲线，一般而言是不同的平面曲线，而且在P点的曲率亦不相同。假设这些曲率都不相同，则将有两个极值，极大与极小，即所谓的主曲率k_1=1/R_1及k_2=1/R_2，而称其中的R_1及R_2为主曲率半径。此两个极值所对应的曲线是互相垂直的。乘积K=k_1k_2=1/(R_1R_2)称为曲面在P点的高斯曲率，或直截了当地称为在P点的曲面曲率。
这个曲率K可以用来做为曲面分类的工具，在几何问题的探讨上（包括非欧几何），这个分类理论极端重要。
对于曲面F(x,y,z)=0上的曲线，弧长元素的平方也可以写为ds^2=dx^2+dy^2+dz^2，
为了简便起见，我们已将括弧省略掉。若曲线是以参数表示时：
x=f(u,v),y=g(u,v),z=h(u,v)，则ds^2就可写成二次形式
ds^2=Edu^2+2Fdudv+Gdv^2，其中E，F，G是参数u，v的函数。将比较简单的ds^2=dx^2+dy^2+dz^2改写为比较复杂的ds^2=Edu^2+2Fdudv+Gdv^2，即所谓的第一基本式，表面上似乎没有任何好处，可是第一基本式却为我们指出了走向曲面内蕴几何的道路。
不变量
在麦卡托射影下，角度是一个不变量。
由一曲面映至另一曲面，保持第一基本形式Ⅰ=ds^2不变的变换称为保长变换。在这个变换下，对应的弧都有相同的长度。
在他1827年的论文中，高斯证明了曲率K是一个保长不变量。这个定理在微分几何与一般相对论上站着最中心的地位。
高斯本人称这个非常好的结果为绝妙定理，即一个非凡的定理。
其他在保长变换下重要的不变量是所谓的测地线长度；经过曲面上两个点A，B可以画出无穷多曲线联结这两个点。其中使得弧长AB为最小的曲线称为测地线；所以测地线绘出了曲面上两点间最短的路径。
球面上两个对顶点间有无数条测地线。
测地线是保长变换下的不变量。
当曲面为球面时，两点的测地线即为过此两点的大圆（一个大圆是指此球面与过球心的平面的相交曲线）。
测地三角形
曲面上三条测地线所构成的三角形称为测地三角形，其中任两条测地线的夹角称为此测地三角形之一内角；而两曲线的夹角可以定义为这两曲线在交点的二切线所形成的角度。在平面上，测地三角形即为平常的三角形。因为平面上的测地线即为直线，但在球面上测地三角形则是由三个大圆的圆弧所构成的。
高斯在曲面的研究上所得的最重要的结果是关于测地三角形的内角和。
在他1827年讨论曲面的论文里，高斯导出一个关于V=α+β+γ-π的公式；在这个公式里，高斯曲率K占有一个决定性的地位。
若曲面有常数曲率，则这公式很简单，即V=KT，其中T表示此测地三角形的面积。作为特例，在平面上K=0和α+β+γ-π=0，而在单位球面上，K=1和α+β+γ-π=S，这里S是球面上测地三角形的面积。
一般的情形下，K不为常数，此时方程式中的V可以表为积分，α+β+γ-π=∫∫Kdσ，这里积分是对测地三角形的面积来求的。而高斯即定义此积分为ABC的全曲率或总曲率（Total curvature）。因此这个结果可以明确地表示为：角度的溢亏数等于此测地三角形的全曲率。
注意：全曲率或总曲率是高斯曲率对面积的积分，跟高斯曲率[不叫全曲率、总曲率]是两个不同的概念。


高斯在物理方面的研究工作
有线电报
1831年，威廉·韦伯（Wilhelm Weber，1804-1891）经高斯之推荐而成为哥廷根大学的物理教授。韦伯是当时从事试验工作的先驱之一，恰好与长于理论的高斯互相配合，两人组成了物理界中一支坚强的队伍。年龄的差别并不妨碍他们之间的友谊。
对大众而言，高斯和威廉·韦伯最轰动的成就是发现了电报术，在1833年开始使用，使得两人远近闻名。
高斯与威廉·韦伯的电报术是根据1820年奥斯特发现电流会影响指南针，与1831年法拉第发现的感应电流。
高斯与威廉·韦伯在1833年到1845间，一直使用这个电报机互通短讯，一直到后来又一次闪电打坏了电报线为止。
物理量的绝对单位系统
高斯对磁的研究结果，大部分收集在两本书里，即1832年的“以绝对单位所测定的地磁强度”，及1838年的“地磁的一般理论”。还有一本也值得一提，就是1840年他与威廉·韦伯合著的“地磁图”。
在力学中长久以来就用长度、质量、时间做为基本量。高斯也由此出发，使用毫米、毫克与秒；但他的新奇之处是利用了库仑定律，把力学中使用的单位延伸到磁学甚至静电学中，因而他发现了一套测量磁与静电量的一贯方法。

阿贝尔和雅可比
高斯在此提之未开发领域—处女地—即为椭圆函数理论，因与椭圆弧求长问题有关，故得名。高斯所称的“对数及圆函数”即为今日所谓的初等函数的一部分。
算术-几何平均、椭圆函数
高斯给休马克的信中提到过，早在1791年，只有十四岁时，他就开始研究算术几何平均。下面介绍的问题，约在1800年完成。高斯从两个任意正数a与b开始，并假设a大于b，即a>b>0。然后他造了两个数列如下：
a_0=a,b_0=b
a_1=(a+b)/2,b_1=sqrt(ab)
……
然后高斯正确地证明了，这两个数列都收敛；同时，他还证明了这两个数列的极限值相同，而称之为两数a与b之算术-几何平均值M(a,b)。
高斯在椭圆函数上的工作 ，是从双纽线函数开始，这函数非出于椭圆，而是出于双纽线，此为希腊遗产之一。
双纽线的特征性是：它上面的点与某两定点距离之乘积为一常数。
高斯证明了sinlemnx不但有一实周期，记为2ω，尚有一纯虚周期2ωi。
1797年五月他在杂记上记载着，他找到了ω与算术-几何平均的关系。其式子为：
ω=2∫[0,1]dt/sqrt(1-t^4)=π/M(1,sqrt(2))----可以与初等函数中的欧拉公式相媲美的优美公式
这个式子是高斯纯粹以计算方法，两边算至小数点后11位验证得到的。1799年底他才给了证明。
高斯对椭圆函数的探讨，可能是他数学能力广见的最有力证明。三个毫不相关的东西：算术-几何平均、双纽线与二次形式，经他发酵，而酝酿成数学中前所未有的一部分：椭圆函数。

正态分布也称高斯分布，其名称由来是由于1809年高斯发表的数学和天体力学的名著《绕日天体运动的理论》，在此书末尾，他写了一节有关“数据结合”的问题，世纪涉及的就是这个分布（当时被称为误差分布）的特定问题。

高斯随机过程又称正态随机过程，是通信领域中普遍存在的随机过程。在实践中观察到的大多数噪声都是高斯过程，例如通信信道中的噪声通常是一种高斯过程。