随机的力量(2) - 矩阵比较

上回我们看到通过随机，能够显著减少哈希冲突的例子。 今天，我们看看另一个随机发挥威力的地方。

问题： 给定三个n×n矩阵A, B, C, 怎么快速判别A×B 是否等于C？

最直接的想法，当然是先进行矩阵乘法得到矩阵D = A×B，然后再一一比较矩阵C和矩阵D是否相同？

比较两个n×n矩阵是否相同的时间复杂度为O(N^2)，而矩阵乘法直接算法时间复杂度是O(N^3), 目前最快的矩阵乘法的时间复杂度是O(N^2.376)。综合来看，时间复杂度接近O(N^3)。

是否存在更快的方法呢？答案是肯定的，下面我们介绍一种技术 - Freivalds技术

先来看一个A*B=C的必要条件： 对于n×1向量r， A*B*r = C*r

注意，这并不是充分条件。如果A*B*r = C*r, 并不能推导出A*B一定等于C。但如果A*B*r = C*r不成立，那么A×B=C就一定不成立。

随机产生一个n×1向量r，r[i] = 0或1，A*B*r = C*r 但A*B不等于C的概率是多大呢？

可以证明，P{A*B*r = C*r, A*B != C} <= 1/2

Freivalds技术就是基于上述的必要条件和概率估计，采用Monto Carlo算法， 算法逻辑可以参考以下伪代码。

// 判断A*B=C是否成立

bool IsIdentical(A, B, C) {

        for (int iter = 0; iter < K; iter++) {

                r = RandomVector()

                // 判断A*B*r = C*r是否成立

                if(false == IsIdentical(A, B, C, r)) {

                        // 不满足必要条件，必定不成立

                        return false;

                }

        }

        return true;

}

每次必要条件测试A*B*r = C*r的计算时间复杂度为O(N^2)。（计算A*B*r = A*(B*r)采取从右往左计算顺序）

每次测试的错误概率小于等于1/2, 那么采取Monto Carlo算法后，K次都错误的概率会下降到1/(2^K)。

综合来看，时间复杂度为O(K*N^2), 而准确概率提升到1 - 1/(2^K)

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