筛法求素数

线性筛法求素数

题目：给出一个正整数n，打印出所有从1~n的素数(即质数);



关键是要找出一个判断一个正整数n是否为素数的方法...



傻瓜解法--n,n/2

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1 #include<stdio.h>
2 int main()
3 {
4 int i,n;
5 while(scanf("%d",&n)==1)
6 { for(i=2;i<n;i++)
7 if(n%i==0) break;
8 if(i==n) printf("YES\n");
9 else printf("NO\n");
10 }
11 }
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这是理所当然的想法，按照素数的定义，除了1和它本身没有其他的因数，就是素数。

这种解法的缺点就是红色标注那里，i<n，或者有的是i<n....这种循环规模n稍微大点，运行时间不谈了，都是泪...





普通解法--sqrt(n)

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1 #include<stdio.h>
2 #include<math.h>
3 int main()
4 { int i,n,x;
5 while(scanf("%d",&n)==1)
6 { x=(int)sqrt(n);
7 for(i=2;i<=x;i++)
8 if(n%i==0) break;
9 if(i>x) printf("YES\n");
10 else printf("NO\n");
11 }
12 }
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这里循环取到sqrt(n)，效率改进不少了...但显然还是不够理想....继续往下看



普通筛选法--埃拉托斯特尼筛法

先简单说一下原理：

基本思想：素数的倍数一定不是素数
实现方法：用一个长度为N+1的数组保存信息（0表示素数，1表示非素数），先假设所有的数都是素数（初始化为0），从第一个素数2开始，把2的倍数都标记为非素数（置为1），一直到大于N；然后进行下一趟，找到2后面的下一个素数3，进行同样的处理，直到最后，数组中依然为0的数即为素数。
说明：整数1特殊处理即可。

举个例子，N=20时，演示如下图：



最后数组里面还是0的就是素数了...

代码实现如下：

prime[]用来保存得到的素数 prime[] = {2,3,5,7,11,.........} tot 是当前得到的素数的个数 check ：0表示是素数 1表示合数

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1 memset(check, 0, sizeof(check));
2 int tot = 0;
3 for (int i = 2; i <= n; ++i)
4 {
5 if (!check[i])
6 {
7 prime[tot++] = i;
8 }
9 for (int j = i+i; j <= n; j += i)
10 {
11 check[j] = 1;
12 }
13 }
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此筛选法的时间复杂度是O(nloglogn) 空间复杂度是O(n)

不足之处也比较明显，手动模拟一遍就会发现，很多数被处理了不止1遍，比如6，在素数为2的时候处理1次，为3时候又标记一次，因此又造成了比较大的不必要处理...那有没有改进的办法呢...就是下面改进之后的筛法...





线性筛法--欧拉筛法

先上代码吧...

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1 #include<cstdio>
2 #include<cstring>
3 #define MAXN 100005
4 #define MAXL 1299710
5 int prime[MAXN];
6 int check[MAXL];
7
8 int tot = 0;
9 memset(check, 0, sizeof(check));
10 for (int i = 2; i < MAXL; ++i)
11 {
12 if (!check[i])
13 {
14 prime[tot++] = i;
15 }
16 for (int j = 0; j < tot; ++j)
17 {
18 if (i * prime[j] > MAXL)
19 {
20 break;
21 }
22 check[i*prime[j]] = 1;
23 if (i % prime[j] == 0)
24 {
25 break;
26 }
27 }
28 }
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精华就在于红色标注那两处，它们保证每个合数只会被它的最小质因数筛去，因此每个数只会被标记一次，所以时间复杂度是O(n)

还是按上面的例子进行一遍模拟：N=20



此过程中保证了两点：

1、合数一定被干掉了...

2、每个数都没有被重复地删掉

(证明 见参考资料)



引申--求欧拉函数

在数论，对正整数n，欧拉函数是小于或等于n的数中与n互质的数的数目。此函数以其首名研究者欧拉命名，它又称为Euler's totient function、φ函数、欧拉商数等。 例如φ(8)=4，因为1,3,5,7均和8互质。

求欧拉函数的方法只需在上面的程序中稍有改动即可，此处只贴出代码：

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1 #include<cstdio>
2 #include<cstring>
3 #define MAXN 100005
4 #define MAXL 1299710
5 int prime[MAXN];
6 int check[MAXL];
7 int phi[MAXL];
8 int tot = 0;
9 phi[1] = 1;
10 memset(check, 0, sizeof(check));
11 for (int i = 2; i < MAXL; ++i)
12 {
13 if (!check[i])
14 {
15 prime[tot++] = i;
16 phi[i] = i - 1;
17 }
18 for (int j = 0; j < tot; ++j)
19 {
20 if (i * prime[j] > MAXL)
21 {
22 break;
23 }
24 check[i*prime[j]] = 1;
25 if (i % prime[j] == 0)
26 {
27 phi[i*prime[j]] = phi[i] * prime[j];
28 break;
29 }else
30 {
31 phi[i*prime[j]] = phi[i] * (prime[j]-1);
32 }
33 }
34 }
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若是素数，那么从1~n-1都是和它互质的数，所以phi(i) = i - 1;

另外两个是积性函数(见参考资料)的公式和欧拉函数的特性。



参考资料

1、http://suno.cnblogs.com/

2、http://wenku.baidu.com/view/1187eebce009581b6ad9eb12

3、http://blog.csdn.net/dinosoft/article/details/5829550