【编程珠玑-读书笔记】算法设计技术—以求解"最大连续子序列和"为例

在一些情况下，算法的设计对程序的性能起着很大的作用，因此在有些时候，我们不得不多花一些时间在算法的设计上。

当然，算法的设计不是一言两语能讲清楚的，本章节作者通过对一个小问题进行研究，提出了4种不同的算法，为我们展示了在算法设计中的一些技术。

问题描述

input：一个具有n个浮点数字的序列x；

output：最大连续子序列和；

方案1：暴力遍历

看到这个问题，我想最最简单的思路就是遍历了！

maxsofar = 0for i = [0, n)    for j = [i, n)        sum = 0        //计算子序列x[i...j]的和        for k = [i, j]            sum += x[k]        maxsofar = max(maxsofar, sum)

这个算法的时间复杂度为O(n^3)。

方案2

方案1可谓是不假思索得到的，那么只要我们稍加思索一下，就会发现，其中有着大量的重复计算！事实上，x[i…j]与x[i…j-1]密切相关，我们可以通过这一点来加速我们的计算。

maxsofar = 0for i = [0, n)    sum = 0    for j = [i, n)        sum += x[j]        //此处，本次循环的sum仍可用在下一次循环上，通过累加减少运算        maxsofar = max(maxsofar, sum)

这个算法的时间复杂度为O(n^2)，比方案1好了一些。

在编程的时候，我曾经想过一个方案：

对于i = 0,…,n-1，计算出x[0…i]的总和，我们记为presum[i]，于是对于x[i…j]的总和，可以通过presum[j]-presum[i-1]来计算。

于是有以下算法：

presum[-1] = 0for i =[0,n)    presum[i] = presum[i-1] + x[i]maxsofar = 0for i =[0,n)    for j =[i,n)        sum = presum[j] - presum[i-1]        maxsofar = max(maxsofar, sum)

这种思路是挺好的，不过遗憾的是，在本问题中，他的复杂度为O(n^2)，并没有实际性的改善。

方案3

作者在文中提出了第三种方案：分治算法。

将序列划分为两个子序列，假设第一部分的最大连续子序列和为m1，第二部分的最大连续子序列和为m2，那么答案很有可能就是m1和m2两者之一。不过，还有一种可能：答案跨越了两个部分，于是我们假设跨越了两部分的最大值为m3，答案必定在m1，m2，m3之中了。其中，对于m1，m2的计算，我们可以递归地进行。对于m3的计算，它必定包含从边界开始往左边累加得到的最大连续序列，也包含从边界开始往右边累加得到的最大连续序列。

这个方案的时间复杂度是O(n log n)。

方案4

作者所说的“扫描算法”，其实就是我们常用的动态规划。

定义b[j]为数组中包含x[j]的最大连续子序列和。

注意，b[j] 并不是1-j中最大的连续子序列的和，而是包含x[j]的最大子序列的和。

而我们所要求的是求出b[j]中最大的值。

状态方程为: b[j] = max(b[j-1] + x[j] , x[j])

//由于对于b数组，b[j-1]只在计算b[j]时用过一次而已，所以我们可以只用一个变量maxendinghere来表示！maxsofar = 0maxendinghere = 0for i = [0,n)    manendinghere = max(maxendinghere + x[i], x[i])    mansofar = max(maxsofar, maxendinghere)

至此，算法已经优化到O(n)了！

感言

相信本章中提到的这个问题，大家并不陌生，看到这个的时候，我是觉得特别亲切的！刚接触编程的时候，用的就是方案1，后来由于OJ上题目的时间限定，问题规模扩大之后便超时了，于是也经历了方案2！而对于方案3，由于跨越分界的特殊情况，所以一时没想到~而方案4，这是在学习动态规划的时候碰到的，当时一开始还不理解，现在回头看，原来如此简单！当然，这种简单，事实上并不简单~它常常需要我们在动手编程前深思熟虑。

本例子虽小，但是却可以看到我们常用的一些算法设计技术：

记忆化搜索：算法2和4对状态进行了保存，避免了重复计算。

预处理：算法2b。

分治：算法3。

动态规划：我如何将x[0…i-1]的解决方案扩展到x[0…i]，或者换句话说，假设x[0…i-1]已经解决了，如何得到x[0…i]的解决方案。

累积：算法2b。