不相交集ADT（联机算法 + 脱机算法）

【0】README

0.1）本文总结于 数据结构与算法分析， 旨在分享 不相交集ADT的相关概念；
0.2） 不相交集ADT 的知识涉及到： 等价关系、动态等价关系、不相交集ADT相关操作及其数据结构 ，还有我们最后分享的 不相交集ADT的应用；
0.3） 关于不相交集ADT的求并操作（find + union），参见 http://blog.csdn.net/pacosonswjtu/article/details/49717009 ；
0.4） 关于不相交集求并后的 路径压缩操作（源代码），参见 http://blog.csdn.net/PacosonSWJTU/article/details/49717109
0.5） 注意本文给出的 联机算法 + 脱机算法 的定义；

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【1】 等价关系

1.1）若对于每一对元素（a，b）， a, b ∈S， aRb 或者为true或者为false；则称在集合S上定义关系 R； 如果aRb 是 true ， 我们说 a 与 b 是有关系的；
1.2）等价关系是满足下列三个性质的关系 R：

• （自反性）： 对于所有的 a ∈S， aRa；
• （对称性）： aRb当且仅当 bRa；
• （传递性）：若aRb且 bRC 则 aRc；

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【2】 动态等价关系

2.1）给定一个等价关系“~”， 一个自然问题是对任意的 a和b， 确定是否 a~b；

• 看个荔枝： 设在5个元素的集合 {a1, a2, a3, a4, a5} 上定义了一个等价关系， 此时存在25对元素， 它们的每一对有关系或者没有关系；

2.2）等价类：一个元素a∈S 的等价类是S 的一个子集， 它包含所有与a 有关系的元素；注意，等价类形成了对S 的一个划分：S的每一个成员恰好出现在了 一个等价类中；
2.3）为了确定是否 a~b： 我们只需要验证 a和b 是否都在同一个等价类中，就可以了；
2.4）不相交：初始数据最初是N个集合的类，每个集合一个元素，初始描述的是所有关系均为 false；

• 2.4.1）此时有两种运算可以进行：

  • find操作（Find算法）：它返回包含给定元素的集合（等价类）的名字；
  • 添加关系（合并操作，Union算法）：如果我们想要添加关系a~b， 那么我们首先要看是否a和b已经有关系。这可以通过对a 和 b执行 find 操作来检验它们是否在同一个等价类中来完成；如果他们不再同一个类中， 那么我们使用 求并运算 Union， 吧含有a 和b 的两个等价类合并成一个新的等价类；

2.5）不相交集合的 Union/Find 算法：从集合观点来看， U的结果是建立一个新集合 Sk=Si U Sj， 去掉原来两个集合而保持所有的集合的不相交性；由于这个原因， 我们把这个工作的算法叫做 不相交集合的 Union/Find 算法；
2.6）该算法是动态的：因为在算法执行过程中， 集合可以通过 Union 操作而发生改变；
2.7）联机算法 + 脱机算法：

• 2.7.1）联机算法：这个算法是联机算法，当Find执行时， 它必须给出答案算法才能继续进行；
• 2.7.2）脱机算法：该算法需要观察全部的Union 和 Find 序列， 它对每个Find给出的答案必须和所有执行到该Find的Union一致， 而该算法在看到所有的问题以后再给出它的所有答案；
• 2.7.3）联机和脱机算法的举例说明： 这种差别类似于参加一次笔试（它一般是脱机的， 你只能在规定时间内做完） 和一次口试（ 因为你必须回答当前的问题， 然后才能继续下一个问题）；

2.8）解决动态等价问题的方法有两种：

• 2.8.1）保证指令 Find 能够以常数最坏情况运行时间执行；
• 2.8.2）保证指令Union 能够以常数最坏运行时间执行； 但以上二者不能同时做到；

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【3】 基本数据结构

3.1）我们的问题不要求 Find 操作返回任何特定的名字，而只是要求 当且仅当两个元素属于相同的集合时， 作用在这两个元素上的 Find 返回相同的名字；
3.2）对Union（X，Y） 和 Find（X）操作的约定：

• 3.2.1）我们采纳了在 Union（X，Y）后的新的根是 X 的约定；
• 3.2.2）对元素X 的一次Find（X）通过返回包含 X 的树的根而完成；执行这次操作花费的时间与表示X 的节点的深度成正比；
• 3.2.3）通过以上所定义的操作， 能够建立一颗深度为 N-1 的树，使得一次 Find的最坏情形运行时间为 O（N）；M次连续操作在最坏情形下可能花费 O（MN）时间；

3.3）对一些列操作的二次运行时间一般是不可接受的， 有幸的是， 有几种方法容易保证这样的运行时间不会出现；

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【4】 一个应用

4.1）出现的问题： 我们有一个计算机网络和一个双向连接表，每一个连接可将文件从一台计算机传送到另一台计算机。那么，能否将一个文件从网络上的任意一台计算机发送到任意的另一台计算机上去呢？ 一个附加的限制是要求该问题必须联机解决；因此，这个连接表要一次一个地给出，而该算法那则必须能够在任一时刻给出答案；
4.2）解决方法：

• 4.2.1）我们要求两台计算机可以传输文件当且仅当他们在同一个集合中；可以看出，传输文件的能力形成一个等价关系。此时我们一次一个地读入连接。当我们读入某个连接如（u，v）时， 我们测试是否 u 和 v 在同一个集合中，如果他们在同一个集合中，则什么也不做；如果不在的话，那么将他们所在的两个集合合并；
• 4.2.2）在算法的最后： 所得到的图连通当且仅当恰好存在一个集合。 如果存在M个链接 和 N台 计算机， 那么空间的需求则是 O（N）；使用 按大小求并 和 路径压缩 的方法，我们得到最坏运行时间为 O（Mα（M，N））， 因为存在2M次Find 和 至多N-1次Union， 这个运行时间是线性的；