HDU 1465 不容易系列之一（错排公式）

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思路：错排公式的简单运用，刚开始写了个错误代码，wrong了无数发

这个问题推广一下，就是错排问题，是组合数学中的问题之一。考虑一个有n个元素的排列，若一个排列中所有的元素都不在自己原来的位置上，那么这样的排列就称为原排列的一个错排。 n个元素的错排数记为D(n)。 研究一个排列错排个数的问题，叫做错排问题或称为更列问题。

错排问题最早被尼古拉·伯努利和欧拉研究，因此历史上也称为伯努利-欧拉的装错信封的问题。这个问题有许多具体的版本，如在写信时将n封信装到n个不同的信封里，有多少种全部装错信封的情况？又比如四人各写一张贺年卡互相赠送，有多少种赠送方法？自己写的贺年卡不能送给自己，所以也是典型的错排问题。

递推的推导错排公式

当n个编号元素放在n个编号位置，元素编号与位置编号各不对应的方法数用D(n)表示，那么D(n-1)就表示n-1个编号元素放在n-1个编号位置，各不对应的方法数，其它类推.

第一步，把第n个元素放在一个位置，比如位置k，一共有n-1种方法；

第二步，放编号为k的元素，这时有两种情况：⑴把它放到位置n，那么，对于剩下的n-1个元素，由于第k个元素放到了位置n，剩下n-2个元素就有D(n-2)种方法；⑵第k个元素不把它放到位置n，这时，对于这n-1个元素，有D(n-1)种方法；

综上得到

D(n) = (n-1) [D(n-2) + D(n-1)]

特殊地，D(1) = 0, D(2) = 1.

错误代码：

#include <iostream>#include <cstdio>#include <cstdlib>#include <algorithm>#include <queue>#include <stack>#include <map>#include <cstring>#include <climits>#include <cmath>#include <cctype>typedef long long ll;using namespace std;ll a[25];void init(){    int i,j;    for(i=2; i<=20; i++)    {        int sum = 1;        for(j=1; j<i; j++)        {            sum *= j;        }        a[i] = sum;    }}int main(){    int n;    init();    while(scanf("%d",&n) != EOF)    {        printf("%I64d\n",a[n]);    }    return 0;}

我这个只考虑了全都放错的情况，没考虑只有一部分放错的情况

AC代码：

#include <iostream>#include <cstdio>#include <cstdlib>#include <algorithm>#include <queue>#include <stack>#include <map>#include <cstring>#include <climits>#include <cmath>#include <cctype>typedef long long ll;using namespace std;ll a[25];void init(){    int i;    a[1] = 0;    a[2] = 1;    for(i=3; i<=20; i++)    {        a[i] = (i-1) * (a[i-2] + a[i-1]);    }}int main(){    int n;    init();    while(scanf("%d",&n) != EOF)    {        printf("%I64d\n",a[n]);    }    return 0;}