POJ1548-Robots Dilworth 定理

题目：http://poj.org/problem?id=1548
题意：给出一个二维矩阵，其中某些位置为标志位，先从左上角出发，每次只能走下面或者右面，一直走到右下角，问至少需要走几次能经过全部的标志位。
解题思路：Dilworth 定理
Dilworth定理：
对于偏序集X,
一个反链A是X的一个子集，它的任意两个元素都不能比较大小。
一个链C是X的一个子集，它的任意两个元素都可比。
这里可以比较的意思即为两个元素a,b之间有一个偏序的关系，具体参见离散数学。
有两个定理：
定理1 令（X,≤）是一个有限偏序集，并令r是其最大链的大小。则X可以被划分成r个但不能再少的反链。
其对偶定理称为Dilworth定理：
定理2 令（X,≤）是一个有限偏序集，并令m是反链的最大的大小。则X可以被划分成m个但不能再少的链。

有了以上理论基础，这个题就显然易见了。定义两个点a,b之间的偏序关系≤为a.x<=b.x&&a.y<=b.y。则本题只需要求出所给图中点所组成集合的最大反链大小m，根据Dilworth定理即为需要的最少走的次数。

如何求最大反链呢，即所有不可比较的点组成的最大集合，这里需要用到动态规划的方法。我们先对所给的点按照x升序排序，用d[i]表示前i个点中与点i不可比的数目 。 然后每次取出一个点i，找到在它前面的所有与i不可比的点j中d[j]最大的，则有d[i]=max(d[j]+1)，（1<=j < i并且点i,j不可比）

为什么这个式子成立呢？因为这样按照x排过序之后，所有与j不可比的点一定也与i不可比。因为所有不可与j相比的点在点j的右上方，而点j又与点i不可比，故点j在点i右上方，所以所有与j不可比的点必定在点i的右上方，即与点i不可比。

如何判别两个点不可比呢？我们已经按照x将所有的点排过序了。故在点i前面的所有点j，满足j.x<=i.x,然后我们再重载了一下>操作符,表示!(j.x<=i.x&&j.y<=i.y).则当两个条件都满足的时候必有（j.x<=i.x&&j.y>i.y)，即在图中表现为点j在点i的右上方，即点i,j不可比。当求出所有点的d[i]后，显然其中最大的即为所求。

具体代码我是参考了这个博客的代码：
http://blog.csdn.net/zhangwei1120112119/article/details/8670426
参考代码：

#include <cstdio>#include <algorithm>#include <vector>#include <cstring>const int maxn=25*25;int d[maxn];using namespace std;struct pos{    int x,y;};bool cmp(pos a,pos b){    if(a.x==b.x)        return a.y<=b.y;    return a.x<=b.x;}bool operator>(pos& a,pos& b){    return !(a.x<=b.x&&a.y<=b.y);}int main(){    int x,y,ans;    pos tp;    while(~scanf("%d%d",&tp.x,&tp.y))    {        if(tp.x==-1&&tp.y==-1) break;        vector<pos> q;        q.push_back(tp);        while(scanf("%d%d",&tp.x,&tp.y))        {            if(tp.x==0&&tp.y==0) break;            q.push_back(tp);        }        sort(q.begin(),q.end(),cmp);        memset(d,0,sizeof(d));        ans=0;        for(int i=0;i<q.size();i++)        {            d[i]=1;            for(int j=0;j<i;j++)            {                if(d[j]+1>d[i]&&q[j]>q[i])                    d[i]=d[j]+1;            }            if(d[i]>ans)                ans=d[i];        }        printf("%d\n",ans);    }}