公式推导

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事件为相互独立的情况：

n个相互独立且服从相同分布的事件，X1,X2,...,Xn，其标准差为 σ, 期望为 μ。

则总的的事件的期望和方差分别为：
E(X1+X2+...Xn)=E(X1)+E(X2)+...+E(Xn)=μ+μ+...+μn=nμ

D(X1+X2+...Xn)=D(X1)+D(X2)+...+D(Xn)=σ2+σ2+...+σ2n=nσ2

因此总的事件的波动系数Cv为：n√σnμ=σn√μ=1n√Cv

事件为正相关的情况：

n个事件 X1,X2,...,Xn 互为正相关，且有相同的期望 μ，和标准差 σ。

则总的期望为：
E(X1+X2+...Xn)=E(X1)+E(X2)+...+E(Xn)=μ+μ+...+μn=nμ

总的方差为：

因为两两互为正相关，则有相关系数 ρXY=1

即Cov(X,Y)DX√DY√=1–>Cov(X,Y)=DX−−−√DY−−−√

又
D(X1+X2+...Xn)

=E{[(X1+X2+...Xn)−E(X1+X2+...Xn)]2}

=E{[(X1−EX1)+(X2−EX2)+...+(Xn−EXn)]2}

=E[(X1−EX1)2+(X2−EX2)2+...+(Xn−EXn)2+2∑i,j=1,2...n且i<jCov(Xi,Xj)]

=DX1+DX2+...+DXn+2∑i,j=1,2...n且i<jDXi−−−−√DXj−−−−√

=(DX1−−−−√+DX2−−−−√+...+DXn−−−−√)2

=(nσ)2

所以总的标准差就为：nσ

总的波动系数为：Cv=nσnμ=σμ