从单侧置信区间推导单边假设检验

如果θ是待估计的参数, 而(A,∞)是对θ的单边95%置信区间（CI）。这里把A大写是强调它是随机变量, 而θ是常数。按照置信区间的含义，其有95%的概率包含θ，所以有P(A<θ)=0.95.

如果我们检验：

H0:θ=θ0H1:θ>θ0

如果H0为真, 有P(A<θ0)=0.95, 所以对于根据一个样本估计的A的具体值a：

if a<θ0, 无法拒绝H0;

if a≥θ0, 拒绝H0.

其中拒绝域就是{A≥θ0}。

How to get p value?

我们仍然考虑上面的检验问题，如果我们获得了a>θ0，我们可以在水平0.05上拒绝H0。但是，我们只知道p<0.05。也就是我们只知道a落在了拒绝域a≥θ0中。对具体的p值，我们不知道。

假设我们知道A的分布，因为A越大，就越不利于H0，所以我们可以计算p值为p=P(A≥a)。

如果不知道A的分布，可以这样考虑：

对当前置信度C=95%的情况，如果a落在了拒绝域中，我们拒绝H0。假如我们增加C，打个比方到99%，使得a下降并恰好为θ0。我们记为a99。

我们考虑C=99%的CI的下界A99，如果H0为真，则P(A99<θ0)=0.99。而拒绝域还是{A99≥θ0}，但是其概率为0.01了。那么现在，我们根据样本计算的a99，刚好落在了拒绝域的下界上，所以p值：

p=P(A99≥a99)=P(A99≥θ0)=0.01

通过这种方法，我们可以计算精确的p值了。也就是通过增加置信度C，使得CI的下界A恰好为θ0。此时p值为1−C。