假设检验

1. 实例

1.1 问题描述

某机器正常情况下生产出的产品重量服从N(0.5， 0.015^2)。
现有一组产品重量如下：
0.497, 0.506, 0.518, 0.524, 0.498, 0.511, 0.520, 0.515, 0.512
问: 从样本看机器是否正常?

1.2 问题分析

用μ, δ分别代表产品重量的均值和方差
检验“机器是否正常”等价于检验“X是否服从正态分布N(μ, 0.0152)”

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2. 建立检验模型

2.1 模型

确定总体：记 X 为该机器生产产品的重量，则 X～N(μ,0.0152);
- 明确任务：通过样本推断“H0是否等于0.5”；
- 建立假设：上面的任务是要通过样本检验
“H0 =0.5”的假设是否成立。

假设：
H0:μ=0.5 （原假设）
H1:μ!=0.5 （对立假设）

2.2 分析

找出一个界限 c，使得：
当|x¯−0.5|<c 时，接受原假设H0
当|x¯−0.5|>c 时， 拒绝原假设H0

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3. 解决问题

3. 1 确定阈值c

当H0 ： μ=0.5 成立时，

x¯−0.50.015/9√ ˜ N(0,1)

为确定常数 c，我们考虑一个很小的正数， 如α = 0.05。
当原假设 H0:μ=0.5成立时，有:

P{|x¯−0.5|0.015/9√>zα/2}=α

c=(0.015/9√)∗zα/2

3.2 拒绝域

检验统计量：

|x¯−0.5|
或者
U=x¯−0.50.015/9√

H0拒绝域：
|x¯−0.5|>=(0.015/9√)∗zα/2
或者
|U|>=zα/2

3.3 方法原理

3.1式描述的是在标准正态分布两侧概率共α的区域发生事件P，如下图所示：

当α足够小时，事件P即为小概率事件，
如果P发生(即P{|x¯−0.5|>=(0.015/9√)∗zα/2})
则意味着不正常，即原假设H0错误。

小概率事件通常不会发生

4. α

在一些场景中通常称α为p值。

α 描述的是当H0为真是，对其错误判断的概率。数学原理如下：
当 H0:μ=0.5 成立时：
P{|x¯−0.5|>=(0.015/9√)∗zα/2} = α

P{拒绝H0|H0为真}=α

PS: 一般以P < 0.05 为显著， P<0.01 为非常显著。