带权中位数问题：

带权中位数问题：

1.带权中位数
我国蒙古大草原上有N（N是不大于100的自然数）个牧民定居点P1（X1，Y1）、P2（X2，Y2）、 …Pn（Xn，Yn），相应地有关权重为Wi，现在要求你在大草原上找一点P（Xp，Yp），使P点到任 一点Pi的距离Di与Wi之积之和为最小。 　　
　　 即求 D=W1*D1+W2*D2+…+Wi*Di+…+Wn*Dn 有最小值 　　
结论：对x与y两个方向分别求解带权中位数，转化为一维。
设最佳点p为点k，则点k满足：
令W为点k到其余各点的带权距离之和，则
sigema( i=1 to k-1) Wi*Di < = W/2
sigema( i=k+1 to n) Wi*Di < = W/2
同时满足上述两式的点k即为带权中位数。

    我们都学过中位数问题，即给定了N个数后，位于第[N/2]的数就是中位数。所谓带权中位数，就是给定的N个数都有一个权值，或者说相当于个数。此时的中位数就不再是第[N/2]个数了，而是第[∑D[I]/2]个数。

而在信息学竞赛中，有这样一类题，给出了若干个排列在一条直线上的点，每个点有一个权值，比如说货物量、人数什么的，然后让我们找出使所有点的货物、人集合到一个点的总代价最小的位置。我们将会发现，这一类问题实际上就是带权中位数问题。

 

{

 一些符号的意思：

 D[I]—第I个点的权值

  DIST（I，J）—I到J点的距离，即DIST（I，J）=|NUM[I]-NUM[J]|

 由定义式易知：DIST（I，J）=DIST（J，I）

}

 

证明（简）：

若最优点在T

则有：

∑{D[I]*DIST(I，T)}(I<>T)<=∑{D[I]*DIST(I,T+1)}(I<>T+1)

将此式化为：

∑{D[L]}*DIST(L,T)}+∑{D[R]*DIST(R,T)}+D[T+1]*DIST(T+1,T)  

<=∑{D[L]}*DIST(L,T+1)}+∑{D[R]*DIST(R,T+1)}+D[T]*DIST(T,T+1) (L<T&R>T+1)

即：

∑{D[L]*DIST(L,T+1)}-∑{D[L]*DIST(L,T)}(L<T)+D[T]*(DIST(T,T+1))

>=∑{D[R]*DIST(R,T)}-∑(D[R]*DIST(R,T+1))(R>T+1)+D[T+1]*(DIST(T,T+1))

进一步化简为：

∑{D[L]*(DIST(L,T)-DIST[L,T+1])}(L<=T)<=∑{D[R]*(DIST(R,T+1)-DIST(R,T))}(R>=T+1)

∵DIST(L,T)-DIST(L,T+1)=DIST(T,T+1)

 DIST(R,T+1)-DIST(R,T)=DIST(T+1,T)

 OBVIOUSLY : DIST(T,T+1)=DIST(T+1,T)

因此：

 ∑D[L](L<=T)>=∑(D[R])(R>=T+1)

即：∑D[L](L<T)+D[T]>=∑(D[R])(R>T)

因此我们发现，若T是最优点，则必有其左边的权值和加上D[T]后大于右边的权值和

而类似的，我们可以证明其右边的权值和加上D[T]后大于左边的权值和

因此我们要找的点也就是满足以上条件的点。注意到此时我们的选择已经和具体的位置（坐标）没有关系了，而成为主要考虑因素的仅仅是各点上的权值。

因为左边的权值和数+D[T]>=右边的权值和，那么：

LEFTSUM+D[T]>=RIGHTSUM=SUMALL-(LEFTSUM+D[T])

=>2*(LEFTSUM+D[T])>=SUMALL

=>2*RIGHTSUM<=SUMALL

同理可得：

RIGHTSUM+D[T]>=LEFTSUM=SUMALL-(RIGHTSUM+D[T])

=>2*(RIGHTSUM+D[T])>=SUMALL

=>2*LEFTSUM<=SUMALL

此时我们发现：

 2*LEFTSUM<=SUMALL 而 2*(LEFTSUM+D[T])>=SUMALL

也即是说当前的位置T上的数包含了第[(SUMALL)/2]个数，由开篇的简述可知，这第[(SUMALL)/2]个数，就是这个序列中的带权中位数。所以这一类问题，实质上就是带权中位数问题。

 

证明的简单说明：

我们可以简单地把上面的证明过程看作是左边的人都集合到了M点，而右边的人都集合到了M+1点。此时形成了两军对垒的形式，如果左边的总人数比右边的多，那么从左边走到右边去就没有从右边走到左边来优，反之亦然。那么既然在当前点我们左边的总人数已经比右边多了，那么再往右边移动，左边的人数会进一步增多，而右边的人会减少，那么只会导致更差的结果，所以此时我们可以判断最优点一定在当前点的左边，或者至少在当前这个点。那么范围就从当前的[L，R]缩小到了[L，M]，通过不断地缩小范围（而每一次缩小我们都砍掉了一半的范围），最后我们得到的将是一个点——那就是我们要求的集合位置。

 

NOTIFY THAT THE CHOICE OF THE MEETPLACE HAS NOTHING TO DO WITH THE DISTANCES！！

 最优位置的选择与距离无关！！

 

带权中位数问题常见算法：

1：朴素算法：

方法：枚举集合点，进行计算

时间复杂度：O（N^2）

2：递推算法：

1．朴素递推：

方法：分别计算对于一个点从左右过来的总代价，求其最小值

时间复杂度：O（N）

2．递推改进算法

    方法：利用前面证明的结论和带权中位数的定义，只需要一次扫描即可

    时间复杂度：O（N）

3：分治算法：

1．     O（NlogN）的算法

方法：二分集合点，比较集合点为M与M+1时的谁更优，不断缩小范围

2．     O（N）的二分改进算法

方法：二分集合点，但利用了已知信息，将时间复杂度降到O（N）

 

附录：

 

证明二分优化后的时间复杂度：

由于是二分，所以共执行了logN次

最后一次的次数是1，之后依次递增：

即：2^0+2^1+…..+2^(logN)=2^(logN+1)-1=2*N-1

所以时间复杂度为：O(N)

 

{更新于2006-10-24晚21：34分

UPDATED AT 21：34 IN OCT 24^TH，2006}

优化后的二分实现：采用类似二分查找的迭代法

1．   SET L=1；R=N；

2．   WHILE  (L<=R)  DO

3．   M=(L+R)/2;

4．    IF  R=L

5．       THEN BREAK

6．       ELSE CALC_LEFTSUM&RIGHTSUM

7．     COMPARE LEFTSUM&RIGHTSUM

8．     IF LEFTSUM >RIGHTSUM

9．       THEN SET R=M; SET SUM[R]=SUM[R]+RIGHTSUM

10.    ELSE IF LEFTSUM<RIGHTSUM

11.            THEN SET L=M+1; SET SUM[L]=SUM[L]+LEFTSUM

12    .ELSE BREAK

13.    IF NOT BREAK THEN BACK TO 2

14            SET MEETPLACE=M

15            CALC THE COST TO GET ALL TOGETHER AT MEETPLACE

 

即：

1．    设置初始的左右边界LR

2．    若左右边界LR未错位

3．      计算二分点M的位置

4．      若左右边界已重合

5．        则此时的二分点M就是最优点

6．        否则计算1~M的和LEFTSUM、M+1~N的和RIGHTSUM

7．      比较LEFTSUM和RIGHTSUM

8．          若LEFTSUM大于RIGHTSUM

9．            则最优点在当前M的左边

10．                   置左边界为M+1，把LEFTSUM加到SUM[L]上

11．               若RIGHTSUM大于LEFTSUM

12．                 则最优点在当前M的右边（或在M点）

13．                   置右边界为M，把RIGHTSUM加到SUM[R]上

14．               否则此时的M就是最优点

15．            若没有找到最优点则继续迭代

16．            置集合位置MEETPLACE为M

17．            计算到MEETPLACE的代价

 

{更新于2006-10-25 8：19

UPDATED AT 8：19，OCT 25^TH，2006}

递推改进算法的实现：

1． CALC THE SUM OF ALL POINTS

2． SET M=1

3． WHILE LEFTSUM+SUM[M]<(SUM-ALL DIV 2) DO

4． SET LEFTSUM=LEFTSUM+SUM[M] SET M=M+1

5．SET MEETPLACE=M

6．CALC THE COST TO GET ALL TOGETHER TO MEETPLACE

即：

1． 计算总的人数和

2． 从1开始计算

3． 若满足左边的总人数+当前点的人数<总人数的一半

4．   则把当前点的人数累加到LEFTSUM中，同时M向后移动一位

5． 满足左边的人数和+当前点的人数和的点就是我们的最优点

6． 计算到MEETPLACE总代价