顺序入栈的出栈方法种数
来源:互联网 发布:算法引论下载 编辑:程序博客网 时间:2024/04/29 20:41
近日在复习数据结构,看到栈的时候,发现1个元素进栈,有1种出栈顺序;2个元素进栈,有2种出栈顺序;3个元素进栈,有5种出栈顺序,那么一个很自然地问题就是n个元素进栈,共有多少种出栈顺序?
说来惭愧,以前学数据结构的时候竟然没有考虑过这个问题。最近在看动态规划,所以“子问题”这3个字一直在我脑中徘徊,于是解决这个问题的时候我也是用类似“子问题”的方法,说白了就是递推公式。
我们把n个元素的出栈个数的记为f(n), 那么对于1,2,3, 我们很容易得出:
f(1) = 1 //即 1 f(2) = 2 //即 12、21 f(3) = 5 //即 123、132、213、321、231
然后我们来考虑f(4), 我们给4个元素编号为a,b,c,d, 那么考虑:元素a只可能出现在1号位置,2号位置,3号位置和4号位置(很容易理解,一共就4个位置,比如abcd,元素a就在1号位置)。
分析:
1) 如果元素a在1号位置,那么只可能a进栈,马上出栈,此时还剩元素b、c、d等待操作,就是子问题f(3);
2) 如果元素a在2号位置,那么一定有一个元素比a先出栈,即有f(1)种可能顺序(只能是b),还剩c、d,即f(2), 根据乘法原理,一共的顺序个数为f(1) * f(2);
3) 如果元素a在3号位置,那么一定有两个元素比1先出栈,即有f(2)种可能顺序(只能是b、c),还剩d,即f(1),
根据乘法原理,一共的顺序个数为f(2) * f(1);
4) 如果元素a在4号位置,那么一定是a先进栈,最后出栈,那么元素b、c、d的出栈顺序即是此小问题的解,即 f(3);
结合所有情况,即f(4) = f(3) + f(2) * f(1) + f(1) * f(2) + f(3);
为了规整化,我们定义f(0) = 1;于是f(4)可以重新写为:
f(4) = f(0)f(3) + f(1)*f(2) + f(2) f(1) + f(3)*f(0)
然后我们推广到n,推广思路和n=4时完全一样,于是我们可以得到:
f(n) = f(0)*f(n-1) + f(1)*f(n-2) + … + f(n-1)*f(0)
即
但这只是一个递推公式(若编程实现,需要维护一个一维数组,时间复杂度为O(n^2))。怎么把它转化为通项公式呢,复杂度仅为O(1)?
于是上网搜索一下,原来真的有这么一个公式:C(2n,n)/(n+1) (C(2n,n)表示2n里取n),并且有个名字叫Catalan数。附上wiki的链接,写得太详细了:http://en.wikipedia.org/wiki/Catalan_number
现在的问题就是:怎么从上述的递推公式求出C(2n,n)/(n+1) ? 有兴趣的朋友欢迎留言讨论!
//2013.6.4 update
根据网友u010896627的思路,我抽象了下问题,在知乎上问了个问题,其中有一个答案提出了“折现法”,从几何上推出了“n个元素进栈有多少个出栈顺序”这个问题的答案是C(2n,n)-C(2n,n-1),化简一下即得Catalan number。推荐大家看一看。
- 顺序入栈的出栈方法种数
- 元素的出栈、入栈顺序的合法性。
- 顺序栈的创建、入栈、出栈
- 栈--元素出栈、入栈顺序的合法性问题
- (四)顺序栈的入栈和出栈
- 数据结构顺序栈的入栈与出栈
- 元素出栈、入栈顺序的合法性
- 元素出栈、入栈顺序的合法性
- 判断元素出栈,入栈顺序的合法性
- 判断元素入栈,出栈顺序的合法性
- 由入栈123出栈顺序引发的思考
- ~元素出栈、入栈顺序的合法性~
- 元素出栈、入栈顺序的合法性。
- 元素出栈、入栈顺序的合法性
- 元素出栈、入栈顺序的合法性。
- 元素出栈、入栈顺序的合法性
- 元素出栈、入栈顺序的合法性
- 元素出栈、入栈顺序的合法性
- hihocoder #1258 签到题
- Java多线程线程、同步代码块、同步函数、死锁
- cocos2d-x学习笔记(1) 工程初始化
- javascript 地理位置api的测试
- 如何成为优秀的驱动开发工程师
- 顺序入栈的出栈方法种数
- 【2015-2016 ACM-ICPC, NEERC, Northern Subregional Contest H】【字符串哈希 构造】Hash Code Hacker 构造有相同哈希值的不同字符串
- 二叉树的操作
- 简单导航栏
- 打开网页的操作 发短信等
- HDOJ 2151 Worm(DP入门)
- 算法自带的random.shuffle
- 网球循环赛日程表
- jQuery-这个才是水神写的