机器学习笔记_数学基础_5-矩阵理论
来源:互联网 发布:方正证券软件下载 编辑:程序博客网 时间:2024/06/05 17:23
矩阵分解
- Guass消去: 高斯消去可以充分进行的充分必要条件是A的前n-1个顺序主子式都不为零
△k≠0,k=1,2,,⋯,n−1 - 矩阵三角分解(Guass消去的推广)
- QR分解(正交三角分解)
实非奇异矩阵A分解为正交矩阵Q和实非奇异三角矩阵R的乘积
奇异值分解
- 若A是n阶实对称矩阵,则存在正交矩阵Q,使得
QTAQ=diag(λ1,⋯,λn)
A是非奇异矩阵(满秩矩阵),且A不是对称阵,则存在正交矩阵P和Q,使得
=> A的正交对角分解QT(ATA)Q=diag(σ1,⋯,σn)
=> A=P∗diag(σ1,⋯,σn)∗QT
其中σ2i 是ATA的特征值
令A属于
Cm∗nr,r>0; (r表示A的秩);ATA 的特征值是λ1≥λ2≥⋯≥λr>λr+1=λr+2=⋯=λn=0
称σi=λi−−√ ,为A的奇异值A属于
Cm∗nr,r>0; (r表示A的秩); 则存在m阶酉矩阵(正交矩阵)U 和n阶酉矩阵(正交矩阵)UHAV=[Σ000]
证明(实矩阵情况)
记
证明完毕
- 例题:求矩阵
A=⎡⎣⎢100010110⎤⎦⎥ 的奇异值分解
解:
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