机器学习笔记_数学基础_7-凸优化理论
来源:互联网 发布:西安软件测试工资待遇 编辑:程序博客网 时间:2024/05/22 09:42
优化问题
最小二乘问题 (无约束条件;目标函数是若干平和)
minf0(x)=||Ax−b||22=∑ki=1(aTi−bi)2 线性规划: 目标函数
f0 和约束函数f1,⋯,fn 均是线性函数凸优化: 目标函数
f0 和约束函数f1,⋯,fn 均是凸函数- 线性凸优化
- 非线性凸优化
a. 等式约束
b. 无约束
c. 不等式约束
二次规划(QP) : 目标函数
f0 是凸且二次型;约束函数是仿射函数时(线性函数) => 二次规划min(12)xTPx+qTx+r subjecttoGx⪯h;Ax=b
- 二次约束二次规划(QCQP): 目标函数和约束函数均是(凸)二次型
凸优化的基本理论
- 凸集->凸函数->凸优化
- 仿射集: 集合C内的任意两点的直线,仍在凸集=>仿射集(直线,平面,超平面)
- 仿射包;内点;相对内点
- 凸集: 集合C内的任意两点的线段,仍在集合
锥;锥包(过原点的射线,射线族,角)
超平面 :
{x|aTx=b} - 半平面:
{x|aTx≤b} - 多面体(仿射集,射线,线段,半空间)=> 多面体是凸集
保凸运算
- 集合的交运算
- 仿射函数(类比线性运算)
- 透视函数(单位向量化,舍弃最后一个等于1的向量)
- 投射函数( 线性分段函数)
分割超平面: 定义集合C和集合D最短线段的垂直平分线
- 支持超平面: 集合C的边界上的点的切线(面)
凸函数基本问题
f(θx+(1−θ)y)≤θf(x)+(1−θ)f(y) f 一阶可微;f(y)≤f(x)+▽f(x)T(y−x) ; 一阶Taylor 展开为其下估计f 二阶可微:▽f(x)2 : (1)f 是一元函数,上式大于0; (2)f 多元函数,上式二阶Hessian半正定;
上境图: 一个函数是凸函数,当且仅当其上境图是凸集
Jensen不等式:
f(θ1x1+⋯+θkxk)≤θ1f(x1)+⋯+θkf(xk) <=> f(Ex)≤E(f(x)) 保凸运算
1. 凸函数的非负加权:f(x)=ω1f1(x)+⋯+ωnfn(x)
2. 仿射函数:g(x)=f(Ax+b)
3. 凸函数逐点最大值,逐点上确界
f(x)=max(f1(x),⋯,fn(x));f(x)=supy∈Ag(x,y) => 建立凸函数的方法: 将其表示为一族仿射函数的逐点上确界
共轭函数
f∗(y)=supx∈domf(yTx−f(x))
右侧是关于y的仿射函数,对仿射函数逐点求上确界,则得到的函数f∗(y) 是凸函数
凸优化
minf0(x)
S.t.fi(x)≤0,i=1,...,m; hj(x)=0,j=1,...p 可行点(解);可行域;最优化值;最优化解
凸优化的局部最优=全局最优
对偶问题
minf0(x)
S.t.fi(x)≤0,i=1,...,m; hj(x)=0,j=1,...p Lagrange函数 L(x,λ,ν)=f0(x)+∑i=1mλifi(x)+∑j=1pνjhj(x)
固定x,则Lagrange函数 是关于λ 和ν 的仿射函数Lagrange函数 的对偶函数g(λ,ν)=infx∈D(f0(x)+∑i=1mλifi(x)+∑j=1pvihi(x)) 在可行域逐点求下确界,得到的
Lagrange函数 的对偶函数是凹函数;g(λ,ν)≤p∗ => 对偶函数小于等于最优值
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