[Leetcode]Perfect Squares（DP and Math Solution）

**Perfect Squares My Submissions Question
Total Accepted: 16355 Total Submissions: 55778 Difficulty: Medium
Given a positive integer n, find the least number of perfect square numbers (for example, 1, 4, 9, 16, …) which sum to n.

For example, given n = 12, return 3 because 12 = 4 + 4 + 4; given n = 13, return 2 because 13 = 4 + 9.

Credits:
Special thanks to @jianchao.li.fighter for adding this problem and creating all test cases.

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题意很简单，就是找出一个正整数，找出最少用几个完全平方数（不包括0）可以表示它，用动态规划做就可以了，然而用时788ms。

其实最小可以缩到4ms，根据[Lagrange’s four-square theorem]
任一个自然数都可以用4个完全平方数表示出来，所以这里分情况讨论就好了，注意可能包括0！
下面贴出788ms的代码，以及4ms的代码。

class Solution {public:    int numSquares(int n) {        vector<int> dp(n + 1,0);        for(int i = 1;i <= n;++i){            dp[i] = i;        }        for(int i = 1;i <= n;++i){            int m = sqrt(i);            for(int j = m;j >= 1;--j){                dp[i] = min(dp[i],dp[i - pow(j,2)] + 1);            }        }        return dp[n];    }};

Legendre’s three-square theorem

class Solution {  private:      int is_square(int n)    {          int sqrt_n = (int)(sqrt(n));          return (sqrt_n*sqrt_n == n);      }public:    // Based on Lagrange's Four Square theorem, there     // are only 4 possible results: 1, 2, 3, 4.    //根据Lagrange's Four Square theorem，有且只    //有4种可能的结果：1,2,3,4    int numSquares(int n)     {          // If n is a perfect square, return 1.        //如果n是个完全平方数，返回1        if(is_square(n))         {            return 1;          }        // The result is 4 if n can be written in the         // form of 4^k*(8*m + 7). Please refer to         //如果n可以被写成4^k*(8*m + 7)的形式，        //那么结果就是4，请参考Legendre's three-square theorem        //这里多说一句，Legendre's three-square theorem是说        //如果n不可以被写成4^k*(8*m + 7)的形式，那么n就可以        //用三个整数的平方和表示。        //这里判断的是:如果n可以被写成4^k*(8*m + 7)的形式        //那么就直接返回4。这里的差别主要是要考虑Legendre's         //three-square theorem 里说的是整数，可能包括0，比如说        //对于5 = 2^2 + 1^2 + 0^2.而我们要求的则不包括0.        //感觉这里需要认真体会下这个细节：如果n可以被写成        //4^k*(8*m + 7)的形式，那么就直接返回4        while ((n & 3) == 0) // n%4 == 0          {            n >>= 2;  //如果n能被4整除，那么n和n/4，                      //其返回的值是相同的！        }        if ((n & 7) == 7) // n%8 == 7        {            return 4;        }        // Check whether 2 is the result.        //检查2是不是结果        int sqrt_n = (int)(sqrt(n));         for(int i = 1; i <= sqrt_n; i++)        {              if (is_square(n - i*i))             {                return 2;              }        }          return 3;  //其他情况返回3    }  };

除此之外，这道题还有另外两种解法，Static Dynamic Programming和BFS。这里就不贴出来了，有兴趣的可以戳这里