数学基础I——矢量和坐标

最基本的，我们都知道在数学上常常用坐标表示空间中的某个目标点，该目标点在空间坐标轴投影的位置即确定了目标点的位置。因此矢量也可以用来表示描述这个目标点。什么是矢量？矢量就是有大小，有方向的量。目标点相对于空间坐标系原点的距离即是矢量的大小，方位即是矢量的方向。

矢量的基本运算有1)加减，2)范数和模，3)叉乘，4)点乘，5)直乘，6)共轭和7)求逆。既然我们是为了描述运动控制，我们就以三维空间坐标系距离。设有两个矢量A=ai+bj+ck;B=xi+yj+zk;其中abc,xyz为标量，ijk为向量单位。

1)加减

A±B=(a±x)i+(b±y)j+(c±z)k;

加减满足交换律，即A±B=B±A;

 

2)范数和模

矢量的范数【用||A||表示】等于各标量的平方和，矢量的模【用|A|表示】等于范数的1/2次方。

即||A||=a*a+b*b+c*c;

|A|=sqrt(||A||);

 

3)叉乘

A叉乘B，用A×B表示，叉乘也叫外积、叉积，矢积，其结果是一个向量，所以也称为向量积，

A×B=|A||B|sin(∠AB)e，其中∠AB表示矢量AB之间的夹角，e表示单位向量，e的方向依据右手法则，右手手掌伸开，大拇指与其他四指垂直且其他四指并拢。如果是A×B，则右手其他四指指向A的方向，握拳转向B，此时大拇指的指向就是e的方向。

由此可知A×B=-(B×A);同时可知如果AB向量平行【或重合】，则A×B=0，因为sin(∠AB)=0.

 

4)点乘

A点乘B，用A·B表示，点乘也叫内积、点积，其结果是一个标量，所以也称为标量积，

A·B=|A||B|cos(∠AB)，其中∠AB表示矢量AB之间的夹角。

因此可知A·B=B·A;同时可知如果AB正交，则A·B=0，因为cos(∠AB)=0.

 

5)直乘

A直乘B，用AB表示，有些资料上用一个圆圈里面放一个叉乘符号表示【我找不到那个符号】。直乘也叫直积，或并矢，其结果是一个张量，所以也称为张量积，

AB=-(ax+by+cz)+(bz-cy)i+(-az+cx)j+(ay-bx)k;

其中(ax+by+cz)=A·B;(bz-cy)i+(-az+cx)j+(ay-bx)k=A×B;【可自行推导，这里不过细展开。】即AB=-(A·B)+A×B;

由此可知AB!=BA;

 

6)共轭

共轭比较简单，用A的共轭形式为A*;

A*=-ai-bj-ck;即向量单位都取反。可以想象其几何意义便是由空间坐标系原点朝目标点的笔直反方向，且模相当的一个点。

由于A与A*平行【即A×A*=||A||sin180e=0，A·A*=||A||cos180=-||A||】，且|A|与|A*|相当。可知AA*=-(A·A*)+A×A*=-(A·A*)+0=-(A·A*)=-(-||A||)=||A||;

AB与BA互为共轭，为啥自己想。

 

7)求逆

假设AB=1;那么B是A的逆，用A-1表示，注意这里-1在右上标，找不到这个符号，-_-::。

因为AA*=||A||;所以AA*/||A||=1；即A*/||A||就是A的逆。