HDU 2767 Proving Equivalences(强连通缩点)

题意：给出一个有向图，不一定连通，问至少加多少有向边可以使其变成连通的。

思路：先跑一遍Tarjan并进行缩点。缩完点后，得到一个DAG，设入度为0的点数位inCnt，出度为0的点数为outCnt，则答案为max(inCnt, outCnt)。注意如果跑完一遍图本身就是强连通的，则直接输出0。

下面证明为什么答案是max(inCnt, outCnt)。

先给出一个有向图。

假如这个是缩完点后的图，那我们如何添最少的变使它变成强连通图呢。

对于这个图，我们可以看到入度为0的点为: 1，2，6，7; 出度为0的点为 4，5，6，7，8。要使图变成强连通的，则显然要使：总的出度数 = 总的入度数，且保证每个点的出度和入度都大于0。那么我们可以先画下面这样的图：

红色箭头表示我们至少要添的有向边。

那么显然，我们只需要把“出”的箭头连到“入”的箭头上，且保证所有红色箭头都有得连接，那么就可以得到一个强连通图。所有“出”的箭头与“入”的箭头对应相连，即我们添的一条有向边是对应至少一条“入”箭头和至少一条“出”箭头，那么显然，添边的数量不会超过max{“入”的箭头数量，“出”的箭头的数量}。这一图中入度为0的点有4个，出度为0的有5个，所以至少添的有向边数为5。下图为其中一种添法。

只要把所有红色的箭头填边对应连接出来，就可以得到一个强连通图。显然此图中我们只需添出度为0的点的个数，即5条边，就可以得到一个强连通图。

代码：

#include <algorithm>#include <iostream>#include <sstream>#include <cstring>#include <cstdio>#include <vector>#include <string>#include <queue>#include <stack>#include <cmath>#include <set>#include <map>using namespace std;typedef long long LL;#define mem(a, n) memset(a, n, sizeof(a))#define rep(i, n) for(int i = 0; i < (n); i ++)#define REP(i, t, n) for(int i = (t); i < (n); i ++)#define FOR(i, t, n) for(int i = (t); i <= (n); i ++)#define Min(a, b) a = min(a, b)#define ALL(v) v.begin(), v.end()#define si(a) scanf("%d", &a)#define sii(a, b) scanf("%d%d", &a, &b)#define siii(a, b, c) scanf("%d%d%d", &a, &b, &c)#define pb push_back#define eps 1e-8const int inf = 0x3f3f3f3f, N = 2e4 + 5, M = 1e5 + 5, MOD = 1e9 + 7;int T, cas = 0;int n, m;int ne, dfsNum, top, tot;struct edge {int v, next;}e[M];int head[M], dfn[N], low[N], vis[N], st[N], g[N], in[N], out[N];void addEdge(int u, int v) {e[ne].v = v;e[ne].next = head[u];head[u] = ne ++;}void init() {mem(dfn, 0), mem(low, 0), mem(vis, 0);mem(in, 0), mem(out, 0), mem(g, 0), mem(head, -1);dfsNum = ne  = top = tot = 0;}void Tarjan(int u) {dfn[u] = low[u] = ++ dfsNum;st[top ++] = u;vis[u] = 1;for(int i = head[u]; i != -1; i = e[i].next) {int v = e[i].v;if(!dfn[v]) {Tarjan(v);Min(low[u], low[v]);} else if(vis[v]) Min(low[u], dfn[v]);}if(low[u] == dfn[u]) {tot ++;while(1) {int k = st[-- top];g[k] = tot;vis[k] = 0;if(k == u) break;}}}void work() {for(int u = 1; u <= n; u ++) {for(int i = head[u]; i != -1; i = e[i].next) {int v = e[i].v;if(g[u] == g[v]) continue;out[g[u]] ++;in[g[v]] ++;}}}void gao() {work();int ans1 = 0, ans2 = 0, ans;for(int i = 1; i <= tot; i ++) {if(in[i] == 0) ans1 ++;if(out[i] == 0) ans2 ++;}ans = max(ans1, ans2);if(tot == 1) ans = 0;printf("%d\n", ans);}int main(){#ifdef LOCAL    freopen("/Users/apple/input.txt", "r", stdin);//  freopen("/Users/apple/out.txt", "w", stdout);#endif    si(T);    while(T --) {    init();    sii(n, m);    int u, v;    for(int i = 0; i < m; i ++) {    sii(u, v);    addEdge(u, v);    }    for(int u = 1; u <= n; u ++) if(!dfn[u]) Tarjan(u);    gao();    }        return 0;}