二分图（一）

基本概念：
二分图：整个图能被划分为两个点集（X,Y）且在同一点集内的所有点互不相交的图就是二分图。
匹配：在二分子图的边集M中如果M中的每条边的两个端点只有该条边与这两个端点相连，则M称为一个匹配。
匹配边：我们把两个相匹配的点之间的连线称为匹配边。
最大匹配：图中包含边数最多的匹配称为图的最大匹配。
完备匹配：如果有一边的点全都是匹配点，则称这个匹配为完备匹配。
完美匹配：如果所有点都在匹配边上，称这个最大匹配是完美匹配。
最小覆盖： 用最少的点（Ｘ集合或Ｙ集合的都行）让每条边都至少和其中一个点关联。（也就是说每个边至少有一个端点是匹配点）
路径：就是连着的几条边（1—->2—->3就是一条路径）
最小路径覆盖问题：在有向无环图中，用最少的路径条数（不相交的路径，即不仅不能有重合的边，连重合的点都没有）覆盖掉所有顶点。
最大独立集问题： 在Ｎ个点的图G中选出m个点，使这m个点两两之间没有边．求m最大值．（如果图Ｇ满足二分图条件）可以用二分图匹配来做．
关于二分图带权匹配&最大匹配&完备匹配&完美匹配的区分：
带权匹配：使得该二分图的权值和最大（或最小）的匹配。
最大匹配：使得该二分图边数最多的匹配。
完备匹配：使得点数较小的点集中每个点都被匹配的匹配。
完美匹配：所有点都被匹配的匹配。
可知：完美匹配一定是最大匹配和完备匹配。
二分图的判定：
1.如果一个图是有向无环图，则必定可以化成二分图，方法过后再讲。
2.无向图G为二分图的充要条件是，G至少有两个顶点,且其所有回路的长度均为偶数。
3.黑白染色：从一个没有染过色的点开始染色，把起始点染为黑色，与其连接的边的另一端点都染为白色，再从这些点开始继续染色，如果染色时发现该点已经被染色并且颜色和其相邻的点相同，则不是二分图。
有向无环图转化为二分图：
点数N，边数M。
如果有i–>j，则将i’放在点集X中，将j”放在点集Y中，并将两点用无向边连接，同样的，如果有j—->k，把j’放在X中，把k”放在Y中，然后将两点用无向边连接。
得到这样一个东西：

最小路径覆盖问题解答便由此而来，路径数S=N-最大匹配。
最大独立集问题：m=N-最大匹配。
二分图(不带权)最大匹配：匈牙利算法。
二分图带权最优匹配：KM算法。

第一部分到此结束。