知乎转载逻辑回归线性非线性疑问

来源：互联网发布：苏州网络教育招生简章编辑：程序博客网时间：2024/05/21 14:06

逻辑斯蒂回归能否解决非线性分类问题？

逻辑斯蒂回归提出时用来解决线型分类问题，其分离面是一个线型超平面wx+b，如果将这个超平面改成非线性的，如x1^2+x2=0之类的非线性超平面来进行分类，是否也可以正确分类呢，如果像SVM一样加入核扩展到高维是否也可行呢？

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辛俊波，机器学习/数据挖掘/户外/摄影

李大海、云云云、晓晓焓等人赞同

谢邀。
逻辑回归的模型引入了sigmoid函数映射，是非线性模型，但本质上又是一个线性回归模型，因为除去sigmoid映射函数关系，其他的步骤，算法都是线性回归的。可以说，逻辑回归，都是以线性回归为理论支持的。
这里讲到的线性，是说模型关于系数 $\theta$ 一定是线性形式的
$z=\theta^Tx=\theta_0x_0+\theta_1x_1+...+\theta_nx_n$
加入sigmoid映射后，变成：
$h_\theta(x)=g(z)=g(\theta^Tx)=\frac{1}{1+e^{-z}} =\frac{1}{1+e^{-\theta^Tx}}$

如果分类平面本身就是线性的，那么逻辑回归关于特征变量x，以及关于系数 $\theta$ 都是线性的
如果分类平面是非线性的，例如题主提到的 $x_{1}^{2} +x_2=0$ ，那么逻辑斯蒂回归关于变量x是非线性的，但是关于参数 $\theta$ 仍然是线性的
$z=\theta^Tx'=\theta_0x_0'+\theta_1x_1'+\theta_2x_2'=\theta_0x_0+\theta_1x_{1}^{2} +\theta_2x_2=x_{1}^2+x_2$
这里，我们做了一个关于变量x的变换： $x_0'=x_0,x_1'=x_1^2,x_2'=x_2$

其他非线性超平面一样的道理，我们可以通过变量的变化，最终一定可以化成形如
$z=\theta^Tx‘=\theta_0x_0'+\theta_1x_1'+...+\theta_nx_n'$ 的东西，我们把z看做 $\theta$ 的变量，就是个线性模型。剩下的工作，无非是去构造映射关系 $x_0'=\phi_0(x_0),x_1'=\phi_1(x_1),...x_n'=\phi_n(x_n)$

题主提到了SVM，区别是，SVM如果不用核函数，也得像逻辑回归一样，在映射后的高维空间显示的定义非线性映射函数 $\phi$ ,而引入了核函数之后，可以在低维空间做完点积计算后，映射到高维

综上，逻辑回归本质上是线性回归模型，关于系数是线性函数，分离平面无论是线性还是非线性的，逻辑回归其实都可以进行分类。对于非线性的，需要自己去定义一个非线性映射。

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