KM算法理解

算法目的：有一个带权二分图，求最大权匹配。O（n^3）

KM算法是通过给每个顶点一个标号（叫做顶标）来把求最大权匹配的问题转化为求完备匹配的问题的。设顶点Xi的顶标为A[i]，顶点Yi的顶标为B [i]，顶点Xi与Yj之间的边权为w[i,j]。在算法执行过程中的任一时刻，对于任一条边(i,j)，A[i]+B[j]>=w[i,j]始终 成立。KM算法的正确性基于以下定理：
　　若由二分图中所有满足A[i]+B[j]=w[i,j]的边(i,j)构成的子图（称做等价子图）有完备匹配，那么这个完备匹配就是二分图的最大权匹配。

定理：设 L 是二部图 G 的可行顶标。若 L 等价子图 G_L 有完备匹配 M，则 M 是 G 的最大权匹配。

证明：由于 G_L 是 G 的等价子图，M 是 G_L 的完美匹配，所以，M 也是 G  的完美匹配。以由于对于匹配 M 的每条边 e ，都有 e∈ E( G_L )，而且 M 中每条边覆盖每个顶点正好一次，所以

W( M )= å W(e), e∈ M = å L(x), x∈ V

另一方面，对于 G 的任何完美匹配 M' 有

W( M' )= å W(e), e∈ M' <= å L(x), x∈ V

于是 W( M )>= W( M' )，即 M 是 G 的最优匹配。

Kuhn－Munkras算法（即KM算法）流程：

    (1)  初始化可行顶标的值

    (2)  用匈牙利算法寻找完备匹配

    (3)  若未找到完备匹配则修改可行顶标的值

    (4)  重复(2)(3)直到找到相等子图的完备匹配为止

细节的理解：

1.使用匈牙利算法是注意匹配条件：x[u]+y[v]=w[u,v]

2.如何修改顶标扩大子图：

  <1>需要修改顶标的条件：当想要继续扩大二分图的交替路时，发现已经无法继续扩大时；

  <2>无法继续扩大的原因：x[u]+y[v]>w[u,v]，所以需要修改顶标；

  <3>实现：把x[u]减小就好了。那么减小多少，会不会对其它点造成影响？

      解释：当u这个点找交替路的时候，如果找不到了，那么就可以得到一个交错树（意思就是当匈牙利增加交替路的时候在左右集合访问过的点），那么在交错树里面的左集合X的点和右集合Y的点一定是构成了完备匹配，即x[u]+y[v]=w[u,v] u，v∈交错树点集。对于一般u，v有如下讨论：

             u，v在交错树内，减小了x[u]，为了使x[u]+y[v]和原来的值w[u,v]依旧相等，则y[v]就要加上x[u]减小的值tmp（下面就用tmp表示）

             u在交错树内，v不在，x[u]减小tmp，使得x[u]+y[v]减小tmp，那么其就有可能等于w[u,v]

             u不在交错树内，v在，y[v]增加了tmp，使得x[u]+y[v]>w[u,v]，没有变化符合条件

             u，v都不在交错树内，不用变

     所以最后的结论是：如果u在交错树内x[u]减小tmp，如果v在交错树内y[v]增加tmp。这样对其他的情况也不会产生影响。其实x[u]的减少就是在给其他的不在交错树内的点v机会，让其增加到交错树内。

  <4>确定tmp值：tmp当然是越小越好，但是也不用从-inf枚举，那样很无聊。只要让tmp为|所有u在交错树，v不在交错树的边的两个顶标减去边的权值中|最小的值就好了（这里的“|”是断句不是什么符号）。

  <5>slack数组优化：只讲一点：为什么对于v不在交错树的点每一次更行slack要减去tmp？

      解释：因为slack[v]表示u在交错树内，v不在交错树内，x[u]+y[v]-w[u,v]的最小值，因为之前x[u]被减少了tmp，导致x[u]+y[v]-w[u,v]减小，所以这里要减去tmp。