[leetcode] 96. Unique Binary Search Trees

Givenn, how many structurally uniqueBST's (binary search trees) that store values 1...n?

For example,

Givenn = 3, there are a total of 5 unique BST's.

1         3     3      2      1 \       /     /      / \      \  3     2     1      1   3      2 /     /       \                 \2     1         2                 3

这道题给出1~n共n个数，求出可能的二叉搜索树个数，题目难度为Medium。

二叉搜索树相信大家都已经非常熟悉，这里就不再详细介绍。我们知道根节点把二叉搜索树分为两部分，左子树上所有节点的值比根节点小，右子树上所有节点的值比根节点大，而且左子树和右子树也都是二叉搜索树。这样我们依次拿1~n来作为根节点，当遍历到i时，1~i-1组成了左子树（可能没有），i+1~n组成右子树（可能没有），这样问题就转换为求两个子树的二叉搜索树个数了。至此大家肯定已经想到了用动态规划的方法来解决这个问题。具体代码：

class Solution {public:    int numTrees(int n) {        vector<int> num(n+1, 0);                num[0] = 1;        for(int i=0; i<n; i++) {            for(int j=0; j<=i; j++) {                num[i+1] += num[j]*num[i-j];            }        }                return num[n];    }};

另外，组合数学中有一个常用于计数的数列叫卡特兰数（Catalan Number），可以完美解决这个问题，其递推公式为h(n)=h(n-1)*(4*n-2)/(n+1)，关于卡特兰数的详细说明可以从文章结尾的传送门查看。具体代码：

class Solution {public:    int numTrees(int n) {        long long num = 1;        for(int i=1; i<=n; i++) {            num = num*(4*i-2)/(i+1);        }        return num;    }};

卡特兰数传送门：百度百科，维基百科