【人脸对齐】Supervised Descent Method and its Applications to Face Alignment

cppmc426 发表于 2015-3-29 18:47:28 | 只看该作者 |只看大图 [复制链接]   

 

      Supervised Descent Method and its Applications to Face Alignment，实现了快速的人脸对齐算法，效果很不错。       前些天看了Supervised Descent Method and Its Applications to Face Alignment这篇文章，非常喜欢。这篇文章提出了一种基于机器学习来解决复杂最小二乘问题(least squares problem)的方法(简称SDM方法)。该方法思路很简洁，从训练数据中学习梯度下降的方向并建立相应的回归模型，然后利用得到的模型来进行梯度方向估计。
      牛顿法是迭代求解最小二乘问题的常用方法，但是由于直接求Hessian矩阵往往代价非常高，人们常常采用别的方法来近似Hessian矩阵。这些采用近似Hessian矩阵的方法成为拟牛顿法。只要估计的Hessian矩阵足够接近真实的Hessian矩阵，拟牛顿法就可以高效地解决最小二乘问题。即便如此，从最小二乘的代价函数估计梯度、Hessian矩阵对于某些复杂的最小二乘问题仍然是非常困难的(或者根本就不可能)，比如这篇文章中提到的关于SIFT特征的梯度以及Hessian矩阵。
      那么能不能从别的角度来估计Hessian矩阵和梯度向量，或者，Hessian矩阵的逆与梯度向量的乘积呢？(其实对于牛顿法而言，梯度向量与Hessian逆矩阵的乘积直接决定了优化方向，所以如果可以直接估计他们的乘积，效果上是一样的。)
      可是怎么估计呢？从大量的数据里面构造出这个关键的矩阵/向量来就好了嘛！假设要求解的最小二乘问题是 || f(x) - y ||^2 ，其中f是一个非常复杂的函数，它的计算方法已知，但是梯度和Hessian矩阵均无法直接求解。只要给定一个足够大的最优解集合 {(x*, y*) }， 就可以通过模拟牛顿法的过程来逐步构造出Hessian矩阵和梯度向量。不过直接构造Hessian矩阵和梯度向量需要比较多的训练数据，因为自由度往往很大。既然牛顿法里面最后只需要Hessian的逆和梯度向量的乘积(，估计这个向量显然要直接得多，也容易一些。SDM方法假设这个乘积是x的一个复杂函数，并且假设这个函数可以被一组函数的线性组合近似。具体而言，SDM用以下迭代公式

x_{k+1} = x_k + R_k * f(x_k) + b_k

      取代了牛顿法的迭代公式

x_{k+1} = x_k - H(x)^{-1} f'(x)

      其中R_k 和 b_k 是学习得到的用于近似Hessian矩阵和梯度的模型参数。通过模拟牛顿法的过程，可以通过不断得修正一组初始估计来逼近最优解集合，每一步迭代都可以计算出一对R_k 和 b_k，它们一起构成了最后的模型。
      求解 R_k 和 b_k 的方法类似于贪心算法，即在每一步，最小化迭代后的值与最优值的差:

|| x* - x_k + R_k * f(x_k) + b_k ||^2

      这个其实就是最简单的线性最小二乘问题，可以很容易的求解。
      当然啦，实际训练的时候，需要在所有训练样例计算上面的代价函数并求和，得到最终的代价函数，然后再求解R_k和b_k。
      Supervised Descent Method实现效果如下：

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