Codeforces 603B - Moodular Arithmetic 数论 应用群的基本性质

题意

• 一类函数，他们的定义域是{0,1,..,P-1}，值域也是这个，但不一定是一一映射
• 其中p是奇数，且是质数
• 就是给你p和k，问你满足，给定的等式的函数有多少个，k是等式中的参数
• 等式是f(k * x % p) = k * f(x) % p。
• k的范围是0~p-1，p<10^6

思路

• 这题主要应用了群的性质，除去0的模p运算，是一个群
• 先不考虑0，让x和k都非0
• 我们先证明k * x % p的值各不相同，且会包含全部的1~p-1
• 假设k * x1 % p = k * x2 % p ,且x1 != x2
• 在群中，所以每个元素有逆元，那么k^-1 * k * x1 %p = k^-1 * k * x2 %p
• 所以x1 = x2，由此得证。
• 利用不停迭代，可以得出下面的关系：
• 任取x1，有f(x1) = k*f(x2)%p = k^2 * f(x3) % p = … = k^l * f(x1)
• x1 到 xl就凑成了一个循环的集合，确定x1，则其它元素的值都被确定了，所以对这样一个集合有f(x1)可以为0~p-1的任意值，所以有p种选择，所以找到所有这样的集合个数num，则ans = p ^ num
• 如何找到集合个数呢，我用的方法是用x1推xl，xl推xl-1，直到循环，xl = k * x1 % p
• 现在把0加回来，对于k可以特判k=0时，有p^p-1种，k=1时，有p^p种。
• 当k>1时，对于x=0时，我们固定让f(x) = 1，其它值有上述算法即可。

实现

#include <iostream>#include <cstring>#include <cmath>#include <cstdio>using namespace std;typedef long long ll;const ll mod = 1e9+7;const int maxn = 1000006;int vis[maxn];ll powll(ll x,ll y){    ll ret = 1;    ll A = x;    while (y > 0){        if (y&1)            ret = ret * A % mod;        A = A * A % mod;        y >>= 1;    }    return ret;}int main(){    int p,k;    cin>>p>>k;    if (k == 0){        cout << powll(p,p-1) << "\n";        return 0;    }    if (k == 1){        cout << powll(p,p) <<'\n';        return 0;    }    int num = 0;    for (int i=1;i<p;i++){        if (vis[i] == 1)            continue;        num++;        int x = i;        while (vis[x] != 1){            vis[x] = 1;            x = (ll)k * (ll)x % p;        }    }       cout << powll(p,num) <<'\n';    return 0;}