信息安全与密码学5-RSA算法的介绍

1、对称加密算法

     1976年以前，所有的加密方法都是同一种模式：
（1）甲方选择某一种加密规则，对信息进行加密；
（2）乙方使用同一种规则，对信息进行解密。
         由于加密和解密使用同样规则（简称”密钥”），这被称为“对称加密算法”（Symmetric-key algorithm）。
这种加密模式有一个最大弱点：甲方必须把加密规则告诉乙方，否则无法解密。保存和传递密钥，就成了最头疼的问题。

2、非对称加密算法

1976年，两位美国计算机学家Whitfield Diffie(左) 和 Martin Hellman(右)，提出了一种崭新构思，可以在不直接传递密钥的情况下，完成解密。这被称为“Diffie-Hellman密钥交换算法”。这个算法启发了其他科学家。人们认识到，加密和解密可以使用不同的规则，只要这两种规则之间存在某种对应关系即可，这样就避免了直接传递密钥。
这种新的加密模式被称为”非对称加密算法”。
（1）乙方生成两把密钥（公钥和私钥）。公钥是公开的，任何人都可以获得，私钥则是保密的。
（2）甲方获取乙方的公钥，然后用它对信息加密。
（3）乙方得到加密后的信息，用私钥解密。
如果公钥加密的信息只有私钥解得开，那么只要私钥不泄漏，通信就是安全的。

图为 RSA公开密钥算法的发明人,从左到右Ron Rivest, Adi Shamir, Leonard Adleman. 照片摄于1978年

1977年，三位数学家Rivest、Shamir 和 Adleman 设计了一种算法，可以实现非对称加密。这种算法用他们三个人的名字命名，叫做RSA算法。从那时直到现在，RSA算法一直是最广为使用的”非对称加密算法”。毫不夸张地说，只要有计算机网络的地方，就有RSA算法。这种算法非常可靠，密钥越长，它就越难破解。因此可以认为，1024位的RSA密钥基本安全，2048位的密钥更加安全。

早在1973年，英国国家通信总局的数学家Clifford Cocks就发现了类似的算法。但是他的发现被列为绝密，直到1998年才公诸于世。

3、RSA算法的原理介绍

RSA算法是一种非对称密码算法，所谓非对称，就是指该算法需要一对密钥，使用其中一个加密，则需要用另一个才能解密。

RSA的算法涉及三个参数，n、e1、e2。
其中，n是两个大质数p、q的积，n的二进制表示时所占用的位数，就是所谓的密钥长度。
e1和e2是一对相关的值，e1可以任意取，但要求e1与(p-1）*(q-1）互质；再选择e2，要求（e2*e1）mod((p-1）*(q-1））=1。
（n，e1）,(n，e2）就是密钥对。其中(n，e1）为公钥，(n，e2）为私钥。[1]
RSA加解密的算法完全相同，设A为明文，B为密文，则：A=B^e2 mod n；B=A^e1 mod n；（公钥加密体制中，一般用公钥加密，私钥解密）
e1和e2可以互换使用，即：
A=B^e1 mod n;
B=A^e2 mod n;

涉及到的知识点：

1)什么是素数(也就是质数)？
　　素数是这样的整数，它除了能表示为它自己和1的乘积以外，不能表示为任何其它两个整数的乘积。例如，15＝3＊5，所以15不是素数；又如，12＝6＊2＝4＊3，所以12也不是素数。另一方面，13除了等于13＊1以外，不能表示为其它任何两个整数的乘积，所以13是一个素数。素数也称为“质数”。1不是质数。不是质数并大于1的数叫合数。

2）什么是“互质数”（或“互素数”）？
　　互质数是这样定义的：“公约数只有1的两个数，叫做互质数。”这里所说的“两个数”是指自然数。
　　判别方法主要有以下几种（不限于此）：
（1）两个质数一定是互质数。例如，2与7、13与19。
（2）一个质数如果不能整除另一个合数，这两个数为互质数。例如，3与10、5与 26。
（3）1不是质数也不是合数，它和任何一个自然数在一起都是互质数。如1和9908。
（4）相邻的两个自然数是互质数。如 15与 16。
（5）相邻的两个奇数是互质数。如 49与 51。
（6）大数是质数的两个数是互质数。如97与88。
（7）小数是质数，大数不是小数的倍数的两个数是互质数。如 7和 16。
（8）两个数都是合数（二数差又较大），小数所有的质因数，都不是大数的约数，这两个数是互质数。如357与715，357=3×7×17，而3、7和17都不是715的约数，这两个数为互质数。等等。

3)什么是模指数运算 
　　模运算是整数运算，有一个整数m，以n为模做模运算，即m mod n。
让m去被n整除，只取所得的余数作为结果，就叫做模运算。
例如，10 mod 3=1；
          26 mod 6=2；
          28 mod 2 =0等等。 
　　模指数运算就是先做指数运算，取其结果再做模运算。如5^3 mod 7就相当于（125mod7）结果是6
　RSA加密算法。
算法描述：
（1）选择一对不同的、足够大的素数p，q。
（2）计算n=pq。
（3）计算f(n)=(p-1)(q-1)，同时对p, q严加保密，不让任何人知道。
（4）找一个与f(n)互质的数e，且1<e<f(n)。
（5）计算d，使得de≡1 mod f(n)。这个公式也可以表达为d ≡e-1 mod f(n)
这里要解释一下，≡是数论中表示同余的符号。

公式中，≡符号的左边必须和符号右边同余，也就是两边模运算结果相同。

显而易见，不管f(n)取什么值，符号右边1 mod f(n)的结果都等于1；

符号的左边d与e的乘积做模运算后的结果也必须等于1。1 mod f(n) 商0 余1 ；21mod20 商1余1

这就需要计算出d的值，让这个同余等式能够成立。
（6）公钥KU=(e,n)，私钥KR=(d,n)。
（7）加密时，先将明文变换成0至n-1的一个整数M。若明文较长，可先分割成适当的组，然后再进行交换。设密文为C，则加密过程为：C=Me(mod n)。
（8）解密过程为：M=Cd(mod n)。 




以下实例中只选取小数值的素数p,q,以及e，假设用户A需要将明文“key”通过RSA加密后传递给用户B，过程如下：

加密：11^3 (mod 33)= 11

            5^3(mod 33)=26

           25^3(mod 33)=16

密文就是：11，26，16


解密：11^7 (mod 33)=11

            26^7(mod 33)=5

           16^7(mod 33)=25
明文就是：11，05，25 根据字母表得到“key”

当然，实际运用要比这复杂得多，由于RSA算法的公钥私钥的长度（模长度）要到1024位甚至2048位才能保证安全，因此，p、q、e的选取、公钥私钥的生成，加密解密模指数运算都有一定的计算程序，需要仰仗计算机高速完成。

为什么RSA密码难于破解？ 
　 　在RSA密码应用中，公钥KU是被公开的，即e和n的数值可以被第三方窃听者得到。破解RSA密码的问题就是从已知的e和n的数值（n等于pq），想法求出d的数值，这样就可以得到私钥来破解密文。从上文中的公式：d ≡e-1 (mod((p-1)(q-1)))或de≡1 (mod((p-1)(q-1))) 我们可以看出。密码破解的实质问题是：从pq的数值，去求出(p-1)和(q-1)。换句话说，只要求出p和q的值，我们就能求出d的值而得到私钥。
　 　当p和q是一个大素数的时候，从它们的积pq去分解因子p和q，这是一个公认的数学难题。比如当pq大到1024位时，迄今为止还没有人能够利用任何计算工具去完成分解因子的任务。因此，RSA从提出到现在已近二十年，经历了各种攻击的考验，逐渐为人们接受，普遍认为是目前最优秀的公钥方案之一。
　　然而，虽然RSA的安全性依赖于大数的因子分解，但并没有从理论上证明破译RSA的难度与大数分解难度等价。即RSA的重大缺陷是无法从理论上把握它的保密性能如何。
　　此外，RSA的缺点还有：

A)产生密钥很麻烦，受到素数产生技术的限制，因而难以做到一次一密。

B)分组长度太大，为保证安全性，n 至少也要 600 bits 以上，使运算代价很高，尤其是速度较慢，较对称密码算法慢几个数量级；且随着大数分解技术的发展，这个长度还在增加，不利于数据格式的标准化。因此，使用RSA只能加密少量数据，大量的数据加密还要靠对称密码算法。

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