面试题11：斐波那契数列（offer）

题目一：

写一个函数，输入n，求斐波那契(Fibonacci)数列的第n项。斐波那契数列的定义如下：

0              n=0

f(n)=       1               n=1

         f(n-1)+f(n-2)  n>1

思路：

首先大家想到的肯定是直接用递归做，非常简单，但是有大量重复的工作，效率十分低。

由于要用到前面计算的结果，大家可能会想到动态规划（其实这不具有最优子结构，因为已经用数学公式描述好了），但是动态规划需要O（n）的额外空间。

仔细观察，我们发现只需存储前两个值即可。

时间复杂度：O(n)

空间复杂度：O(1)

#include <iostream>#include <vector>#include <string>#include <stack>#include <algorithm>using namespace std;int fibonacci(int n){if (n < 2) return n;int last = 1, llast = 0,now=0;for (int i = 2; i <= n; ++i){now = last + llast;llast = last;last = now;}return now;}int main(){cout << fibonacci(5) << endl;return 0;}

题目二：

一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上二级台阶。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。

思路：
其实题目一将一种动态规划直接用公式给出来了，所以我说没有最优子结构。但是这题就有很明显的最优子结构。

比如青蛙跳5级台阶有DP[5]种跳法，跳6级台阶有DP[6]中跳法，那跳7级台阶显然就有DP[5]+DP[6]中跳法，就可以得到Fibonacci数列通式了。

实现代码和题目一相同。

需要说明的是，如果青蛙一次还可以跳三级台阶，那么递归通式变为DP[n]=DP[n-1]+DP[n-2]+DP[n-3]了。

拓展：
如果用一个2*1的矩阵（可以横着或竖着）去覆盖2*8的矩阵，共有多少种方法？

其实一样的。用f(8)表示2*8.