Numerical Analysis - Integration - Basics

数值积分的代数精度

定义

我们探讨如下形式的求积公式

Definition 1：
用已知节点的线性组合来代表积分值的形式写出求积公式

∫baρ(x)f(x)dx≈In(f)=∑k=0nAkf(xk)

其中Ak成为求积系数。

数值积分的误差如下表示：

Definition 2：
误差用真值和求积公式的差表示

En(f)=∫baρ(x)f(x)dx−∑k=0nAkf(xk)

其中，已经知道的信息是区间[a,b]内的n+1个求积节点。

Definition 3：
1. 我们说一个数值积分格式至少有k次代数精度，就是说，En(xm)=0对于m=0,1,2,...,k均成立。
2. 我们说一个数值积分格式恰有k次代数精度，就是说，该格式至少有k次代数精度且En(xk+1)≠0。

插值型求积公式

对插值节点做n次Lagrange插值，有

Ln(x)=∑k=0nf(xk)∏j=0,j≠kn(x−xjxk−xj)=∑k=0nf(xk)lk(x),k=0,1,...,n

于是，有

f(x)=Ln(x)+Rn(x)

则

∫baρ(x)f(x)dx=∫baρ(x)Ln(x)dx+∫baρ(x)Rn(x)dx=∑k=0nf(xk)⋅∫baρ(x)lk(x)dx+∫baρ(x)Rn(x)dx

Definition 4：
我们称求积系数满足

Ak=∫baρ(x)lk(x)dx

的求积公式为插值型求积公式。

对插值型求积公式而言，误差为：

E(x)=∫baρ(x)Rn(x)dx=∫baρ(x)⋅f(n+1)(ξ(x))ωn+1(x)(n+1)!dx

显然，该插值公式具有至少n次的代数精度。

事实上，具有n次代数精度的求积公式（已知n+1个节点）都是插值型的求积公式。
这是因为lk(x)显然是n阶多项式。这意味着En(lk(x))=0恒成立。
故有

∫baρ(x)lk(x)dx=∑j=0nAjlk(xj)=Ak

于是，我们以断言这是一个插值型的积分公式。

收敛性与稳定性

Definition 5：（收敛性）
在求积公式中，设a≤x0<x1<...<xn≤b,如果令h=max1≤k≤n如果有

limh→0∑k=0nAkf(xk)=∫baρ(x)f(x)dx

一般来说，计算函数值f(x_l)以及其求和都有可能带来舍入误差，因此计实际计算值为

f˜(xk)=f(xk)+δk

I˜n(f)=∑k=0nAkf˜(xk)

稳定性定义的初衷是希望当∣δk∣<δ时，有∣I˜n(f)−In(f)∣<ϵ成立

Difinition 6: （稳定性）
∀ϵ>0,∃δ>0,s.t.∣δk∣<δ,(k=0,1,...,n),∣I˜n(f)−In(f)∣<ϵ

Definition 7: （相容性）

∑k=0nAk=∫baρ(x)dx

关于稳定性和相容性，有如下定理
Theorem 1：
如果某求积公式是相容的，并且它的每一个求积系数都大于零，则它是稳定的。
证明：

∀ϵ>0,δ=ϵ/(∑k=0nAk)

∣I˜n(f)−In(f)∣<∑k=0nAkδk<(∑k=0nAk)δ=ϵ