弗洛伊德算法介绍
来源:互联网 发布:数据分析技术 编辑:程序博客网 时间:2024/05/23 18:32
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弗洛伊德算法介绍
和Dijkstra算法一样,弗洛伊德(Floyd)算法也是一种用于寻找给定的加权图中顶点间最短路径的算法。该算法名称以创始人之一、1978年图灵奖获得者、斯坦福大学计算机科学系教授罗伯特·弗洛伊德命名。
基本思想
通过Floyd计算图G=(V,E)中各个顶点的最短路径时,需要引入一个矩阵S,矩阵S中的元素a[i][j]表示顶点i(第i个顶点)到顶点j(第j个顶点)的距离。
假设图G中顶点个数为N,则需要对矩阵S进行N次更新。初始时,矩阵S中顶点a[i][j]的距离为顶点i到顶点j的权值;如果i和j不相邻,则a[i][j]=∞。 接下来开始,对矩阵S进行N次更新。第1次更新时,如果"a[i][j]的距离" > "a[i][0]+a[0][j]"(a[i][0]+a[0][j]表示"i与j之间经过第1个顶点的距离"),则更新a[i][j]为"a[i][0]+a[0][j]"。 同理,第k次更新时,如果"a[i][j]的距离" > "a[i][k]+a[k][j]",则更新a[i][j]为"a[i][k]+a[k][j]"。更新N次之后,操作完成!
单纯的看上面的理论可能比较难以理解,下面通过实例来对该算法进行说明。
弗洛伊德算法图解
以上图G4为例,来对弗洛伊德进行算法演示。
初始状态:S是记录各个顶点间最短路径的矩阵。
第1步:初始化S。
矩阵S中顶点a[i][j]的距离为顶点i到顶点j的权值;如果i和j不相邻,则a[i][j]=∞。实际上,就是将图的原始矩阵复制到S中。
注:a[i][j]表示矩阵S中顶点i(第i个顶点)到顶点j(第j个顶点)的距离。
第2步:以顶点A(第1个顶点)为中介点,若a[i][j] > a[i][0]+a[0][j],则设置a[i][j]=a[i][0]+a[0][j]。
以顶点a[1]6,上一步操作之后,a[1][6]=∞;而将A作为中介点时,(B,A)=12,(A,G)=14,因此B和G之间的距离可以更新为26。
同理,依次将顶点B,C,D,E,F,G作为中介点,并更新a[i][j]的大小。
弗洛伊德算法的代码说明
以"邻接矩阵"为例对弗洛伊德算法进行说明,对于"邻接表"实现的图在后面会给出相应的源码。
1. 基本定义
// 邻接矩阵typedef struct _graph{ char vexs[MAX]; // 顶点集合 int vexnum; // 顶点数 int edgnum; // 边数 int matrix[MAX][MAX]; // 邻接矩阵}Graph, *PGraph;
Graph是邻接矩阵对应的结构体。
vexs用于保存顶点,vexnum是顶点数,edgnum是边数;matrix则是用于保存矩阵信息的二维数组。例如,matrix[i][j]=1,则表示"顶点i(即vexs[i])"和"顶点j(即vexs[j])"是邻接点;matrix[i][j]=0,则表示它们不是邻接点。
2. 弗洛伊德算法
/* * floyd最短路径。 * 即,统计图中各个顶点间的最短路径。 * * 参数说明: * G -- 图 * path -- 路径。path[i][j]=k表示,"顶点i"到"顶点j"的最短路径会经过顶点k。 * dist -- 长度数组。即,dist[i][j]=sum表示,"顶点i"到"顶点j"的最短路径的长度是sum。 */void floyd(Graph G, int path[][MAX], int dist[][MAX]){ int i,j,k; int tmp; // 初始化 for (i = 0; i < G.vexnum; i++) { for (j = 0; j < G.vexnum; j++) { dist[i][j] = G.matrix[i][j]; // "顶点i"到"顶点j"的路径长度为"i到j的权值"。 path[i][j] = j; // "顶点i"到"顶点j"的最短路径是经过顶点j。 } } // 计算最短路径 for (k = 0; k < G.vexnum; k++) { for (i = 0; i < G.vexnum; i++) { for (j = 0; j < G.vexnum; j++) { // 如果经过下标为k顶点路径比原两点间路径更短,则更新dist[i][j]和path[i][j] tmp = (dist[i][k]==INF || dist[k][j]==INF) ? INF : (dist[i][k] + dist[k][j]); if (dist[i][j] > tmp) { // "i到j最短路径"对应的值设,为更小的一个(即经过k) dist[i][j] = tmp; // "i到j最短路径"对应的路径,经过k path[i][j] = path[i][k]; } } } } // 打印floyd最短路径的结果 printf("floyd: \n"); for (i = 0; i < G.vexnum; i++) { for (j = 0; j < G.vexnum; j++) printf("%2d ", dist[i][j]); printf("\n"); }}
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