Kruskal最小生成树

来源：互联网发布：宝马编程教程编辑：程序博客网时间：2024/05/04 21:11

原文地址 http://www.acmerblog.com/greedy-kruskal-spanning-tree-mst-5326.html

参考地址 http://www.geeksforgeeks.org/greedy-algorithms-set-2-kruskals-minimum-spanning-tree-mst/

什么是最小生成树？

生成树是相对图来说的，一个图的生成树是一个树并把图的所有顶点连接在一起。一个图可以有许多不同的生成树。一个有 n 个结点的连通图的生成树是原图的极小连通子图，且包含原图中的所有 n 个结点，并且有保持图连通的最少的边。最小生成树其实是最小权重生成树的简称。生成树的权重是考虑到了生成树的每条边的权重的总和。

最小生成树有几条边？

最小生成树有（V – 1）条边，其中V是给定的图的顶点数量。

Kruskal算法

下面是步骤寻找MST使用Kruskal算法

11，按照所有边的权重排序(从小到大)
2 
32，选择最小的边。检查它是否形成与当前生成树形成环。如果没有形成环，讲这条边加入生成树。否则，丢弃它。 
4 
53，重复第2步，直到有生成树（V-1）条边

步骤2使用并查集算法来检测环。如果不熟悉并查集建议阅读下并查集。

该算法是一种贪心算法。贪心的选择是选择最小的权重的边，并不会和当前的生成树形成环。让我们了解一个例子，考虑下面输入图

spanning-tree-mst

该图包含9个顶点和14个边。因此，形成最小生成树将有（9 – 1）= 8条边。

view source
01排序后：
02Weight   Src    Dest
031         7      6
042         8      2
052         6      5
064         0      1
074         2      5
086         8      6
097         2      3
107         7      8
118         0      7
128         1      2
139         3      4
1410        5      4
1511        1      7
1614        3      5

现在从已经排序的边中逐个选择

1. Pick edge 7-6: No cycle is formed, include it.

2. Pick edge 8-2: No cycle is formed, include it.

3. Pick edge 6-5: No cycle is formed, include it.

4. Pick edge 0-1: No cycle is formed, include it.

5. Pick edge 2-5: No cycle is formed, include it.

6. Pick edge 8-6: Since including this edge results in cycle, discard it.

7. Pick edge 2-3: No cycle is formed, include it.

8. Pick edge 7-8: Since including this edge results in cycle, discard it.

9. Pick edge 0-7: No cycle is formed, include it.

10. Pick edge 1-2: Since including this edge results in cycle, discard it.

11. Pick edge 3-4: No cycle is formed, include it.

目前为止一家有了 V-1 条边，可以肯定V个顶点都一包含在内，到此结束。

代码实现：

001// Kruskal 最小生成树算法
002#include <stdio.h>
003#include <stdlib.h>
004#include <string.h>
005 
006// 带有权重的边
007struct Edge
008{
009    int src, dest, weight;
010};
011 
012// 无向图
013struct Graph
014{
015    // V-> 顶点个数, E->边的个数
016    int V, E;
017    // 由于是无向图，从 src 到 dest的边，同时也是 dest到src的边，按一条边计算
018    struct Edge* edge;
019};
020 
021//构建一个V个顶点 E条边的图
022struct Graph* createGraph(int V, int E)
023{
024    struct Graph* graph = (struct Graph*) malloc( sizeof(struct Graph) );
025    graph->V = V;
026    graph->E = E;
027    graph->edge = (struct Edge*) malloc( graph->E * sizeof( struct Edge ) );
028    return graph;
029}
030 
031//并查集的结构体
032struct subset
033{
034    int parent;
035    int rank;
036};
037 
038// 使用路径压缩查找元素i
039int find(struct subset subsets[], int i)
040{
041    if (subsets[i].parent != i)
042        subsets[i].parent = find(subsets, subsets[i].parent);
043 
044    return subsets[i].parent;
045}
046 
047// 按秩合并 x，y
048void Union(struct subset subsets[], int x, int y)
049{
050    int xroot = find(subsets, x);
051    int yroot = find(subsets, y);
052    if (subsets[xroot].rank < subsets[yroot].rank)
053        subsets[xroot].parent = yroot;
054    else if (subsets[xroot].rank > subsets[yroot].rank)
055        subsets[yroot].parent = xroot;
056    else
057    {
058        subsets[yroot].parent = xroot;
059        subsets[xroot].rank++;
060    }
061}
062 
063// 很据权重比较两条边
064int myComp(const void* a, const void* b)
065{
066    struct Edge* a1 = (struct Edge*)a;
067    struct Edge* b1 = (struct Edge*)b;
068    return a1->weight > b1->weight;
069}
070 
071// Kruskal 算法
072void KruskalMST(struct Graph* graph)
073{
074    int V = graph->V;
075    struct Edge result[V];  //存储结果
076    int e = 0;  //result[] 的index
077    int i = 0;  // 已排序的边的 index
078 
079    //第一步排序
080    qsort(graph->edge, graph->E, sizeof(graph->edge[0]), myComp);
081 
082    // 为并查集分配内存
083    struct subset *subsets =
084        (struct subset*) malloc( V * sizeof(struct subset) );
085 
086    // 初始化并查集
087    for (int v = 0; v < V; ++v)
088    {
089        subsets[v].parent = v;
090        subsets[v].rank = 0;
091    }
092 
093    // 边的数量到V-1结束
094    while (e < V - 1)
095    {
096        // Step 2: 先选最小权重的边
097        struct Edge next_edge = graph->edge[i++];
098 
099        int x = find(subsets, next_edge.src);
100        int y = find(subsets, next_edge.dest);
101 
102        // 如果此边不会引起环
103        if (x != y)
104        {
105            result[e++] = next_edge;
106            Union(subsets, x, y);
107        }
108        // 否则丢弃，继续
109    }
110 
111    // 打印result[]
112    printf("Following are the edges in the constructed MST\n");
113    for (i = 0; i < e; ++i)
114        printf("%d -- %d == %d\n", result[i].src, result[i].dest,
115                                                   result[i].weight);
116    return;
117}
118 
119// 测试
120int main()
121{
122    /* 创建下面的图：
123             10
124        0--------1
125        |  \     |
126       6|   5\   |15
127        |      \ |
128        2--------3
129            4       */
130    int V = 4;  // 顶点个数
131    int E = 5;  //边的个数
132    struct Graph* graph = createGraph(V, E);
133    // 添加边 0-1
134    graph->edge[0].src = 0;
135    graph->edge[0].dest = 1;
136    graph->edge[0].weight = 10;
137 
138    graph->edge[1].src = 0;
139    graph->edge[1].dest = 2;
140    graph->edge[1].weight = 6;
141 
142    graph->edge[2].src = 0;
143    graph->edge[2].dest = 3;
144    graph->edge[2].weight = 5;
145 
146    graph->edge[3].src = 1;
147    graph->edge[3].dest = 3;
148    graph->edge[3].weight = 15;
149 
150    graph->edge[4].src = 2;
151    graph->edge[4].dest = 3;
152    graph->edge[4].weight = 4;
153 
154    KruskalMST(graph);
155 
156    return 0;
157}

结果如下：

1Following are the edges in the constructed MST
-- 3 == 4
-- 3 == 5
-- 1 == 10

时间复杂度：

O(ElogE) 或 O(ElogV)。排序使用 O(ELogE) 的时间，之后我们遍历中使用并查集O(LogV) ，所以总共复杂度是 O(ELogE + ELogV)。E的值最多为V^2，所以

O(LogV) 和 O(LogE) 可以看做是一样的。

0 0