[HEOI2013] 钙铁锌硒维生素

Description

给定2N个行向量A1,…,AN,B1,…,BN，需要设计一种替换方案，Ai被Bj替换(i∈[1,N],j∈[N+1,2N])，每个j只能用一次。要求是，每一个Ai被对应的Bj替换后，Ak(1≤k≤N)间线性无关。并要求方案的字典序最小。

Announcement

本人线性相关知识有限，本文仅作定性分析。

Analysis

后面提到的A,B,C将是N×N的矩阵，其中A是N个Ai，B也同理。

S集合

首先题目应该是要求了A必须是线性无关，不然就输出不合法（题意交代不清）。

然后对于每个Bj，A中只能有一个最小集合S，满足S线性无关，但加入Bj后S将线性相关。

因为若有两个或以上的集合，不管是否有交集，A将不会线性无关。

建图

我们将要求出对于每个Bj的相应集合S，然后显然Bj能替换的只能是S中的某个Ai。设C×A=B，则若CTi,j≠0，则Bj的S中含Ai，道理是因为∑Ci,j×Aj,k=Bi,k，而Aj,k,Bi,k都是行向量。

至于怎么求C呢，我们可以求出A的逆矩阵A−1，则有C=B×A−1。

字典序最小

建好图后，要使得字典序最小，我们先跑一次完美匹配，然后枚举每个Ai，强制其选Bj，即把两个点在匹配中禁止走，然后看原来选Bj的点能否跑出增广路。

时间复杂度

求逆矩阵是N3的，生成方案也是N3的。
所以本题是O(N3)。