图论中树的基本概念总结
来源:互联网 发布:linux开机引导修复 编辑:程序博客网 时间:2024/05/18 00:33
树
不包含圈的图称为无圈图(acyclic graph);连通的无圈图称为树(tree),常用字母T表示
一个无圈图也称为森林(forest),树也是森林。在一棵树中,度数为1的顶点称为树叶(leaf),度数大于1的顶点称为分支点.
树有许多等价的定义:
设无向图G(V,E)=(V,E)的顶点数为n,边数为m,则下列命题等价:
(1)G是树;
(2)G中任意两顶点间有且仅有一条路相连;
(3)G是连通的,且m=n-1;
(4)G中无圈,且m=n-1;
(5)G中无圈,但在G中任意不相邻的两顶点间增加一条边,就得到唯一一个圈
由k棵树组成的森林满足:m=n-k,其中n为G的顶点数,m为G的边数。
一棵阶大于或等于2的树至少有两片树叶
下面是一些6个顶点的树:
它们中的任意组合都构成森林。
支撑树
设T是图G的一个支撑子图,如果T是一棵树,则称它为图G的一棵支撑树;若T为森林,则称它为G的支撑森林(spanning forest)。
例1:连通图和其支撑子图:
例2:图和其支撑森林:
注意:
每个连通图都至少包含一棵支撑树。
若G=(V,E)是连通图,则|E|≥|V|-1
一个连通图的支撑树一般不唯一,只有当G本身是树时,其支撑树才唯一。
若e是图G的边,则τ(G)=τ(G-e)+τ(G·e),这里用τ(G)表示G的支撑树的数目
当图G是完全图时, 我们有Cayley 公式:
最小支撑树
设G=(V,E;w)是一个连通赋权图, w:E→R+,T是G的一棵支撑树,T的每条边所赋权值之和称为T的权重,记为w(T)。G中具有最小权的支撑树称为G的最小支撑树。
在连通赋权图G=( V,E;w) 中寻找一个支撑树T,使得w(T)达到最小,称该问题为最小支撑树问题( MST) 。一个赋权图的最小支撑树不一定是唯一的。
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