【实验室：DLT】DLT算法的易错之处

DLT算法的基本说明如下：

DLT+牛顿法

基本思路：

通过DLT法求出初值，再用牛顿法迭代求解。

 

DLT法的思路：

摄像机矩阵P是3*4的矩阵，共12个参数。如果不考虑12个参数之间的关系，认为它们是相互独立的，那么

sPX = x

就是一个线性方程（需对X和x进行归一化，使得点坐标中心在原点且到原点的距离是sqrt(2)）。其中s是尺度因子。将该方程消去s可以得到形如

Ap = 0

形式的线性方程，其中p是12*1的矩阵，包含了P的12个参数。该方程的解可以通过SVD分解得到。由于内参已知，用内参矩阵左除P可以得到Rt的初值Rt0。

    Rt0一般是不满足正交条件的，需要将其转为正交矩阵。方法是将Rt0进行SVD分解，得到、

Rt0 = UWV'

    由于Rt0是方阵，故U=V。W是3*3的对角阵，对角元素是Rt0的特征值。如果要满足Rt0的正交条件，需令W=I，I是3*3的单位阵（即将特征值强制变成1）。此时

Rt0 = UV'

    满足正交条件，同时满足行列式为1。

    此时的Rt0即为要求的初值。

 

牛顿法思路：

    对于如下形式的方程

                                                  (1)

矩阵形式的牛顿法有如下的形式：

                  (2)

                      (3)

其中是将带入(1)式中得到的误差列向量。重复以上过程，直至达到要求的精度。

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以上是DLT算法的基本思路，以下着重说一下黑体字部分：为什么要归一化？归一化的好处是什么？、

《计算机视觉中的多视图几何》这本书中有过论述，如果一幅图的坐标x被xx = T1*x，而另一幅图的坐标xx' = T2*x'代替，其中T1和T2都是3*3的矩阵，表示一个相似变换。当我们求单应矩阵x' = Hx时，变成了

 T2 * x' = H' * T1 * x

这里的H‘和H显然是不同的，如果某个计算单应的方法是相似变换不变的，二者关系应该是

H = (T2.inv()) * H' * T1

那么，在DLT算法的实际运算中，二者并不相等。因为DLT算法并不是相似变换不变的。

为什么？

关键在于：我们求得的矩阵H在任何情况下都含有一个未确定的尺度因子，该尺度因子对不同的特征点都是不同的。为了能够得到H的值，我们必然对H的范数（或行列式的值）有所约束。通常情况下我们使用SVD分解的方法求解，而SVD分解得到的H隐含一个约束是

||H||=1.

即将H写成列向量形式时，其欧氏长度为1.而上面的约束在经过相似变换后变成了
||(T2.inv()) * H * T1||=1

这两个式子并不等价。第一个式子满足时，第二个式子不一定满足。确切的说，二者并不以任何简单的形式相关联。也就是说，本质上经过对特征点坐标的相似变换，我们改变了对H的约束。这样得到的结果一定是不等价的。

所以我们需要归一化。

而归一化与DLT搭配使用，可以得到两个好处：

1.提高精度

显而易见的，归一化确保了约束的正确，精度自然提高。

2.带来相似变换不变性

由于通过归一化，我们将坐标转换到了标准的坐标空间里，所以特征点的任意相似变换（即原图的相似变换）都不会对DLT的结果产生影响，使得DLT获得了实际上的相似变换不变性。

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再重复一次归一化的流程：

首先通过平移使得特征点的中心在原点。

之后经过缩放，使得特征点到原点的距离均值是sqrt(2)。