两个软硬程度一样的鸡蛋，它们在某一层摔下会碎，有个100层的建筑，要求最多用两个鸡蛋确 定鸡蛋安全下落的临界位置，给出临界位置？如果是n层楼，m个鸡蛋，请给出确定临界位置的算法

题目：问题：一幢大楼共计100层，某种类型的鸡蛋从某一楼层及其以上楼层摔下来时会被打破，从该层楼（即临界楼层）以下楼层摔下该鸡蛋，鸡蛋不会出现破损。现给你2个完全一样的该种类型的鸡蛋，问：如何通过这2个鸡蛋找到该临界楼层时，所用的摔鸡蛋次数最少？

 

思考：给了我们2个鸡蛋，意思就很明显，有1个鸡蛋起到关键作用，它可以被打破，以告诉我们临界楼层大致在什么位置。

初探：看到这个题，首先想到的是二分搜索法，先从50楼摔下，分两种情况：

1.如果没碎：再从75楼（就是50+25=75）再次摔下。

2.如果碎了：第二个鸡蛋从25楼摔下……

如此去找，但是我们可以发现里面的漏洞，如果第二个鸡蛋从25楼摔下也碎了怎么办？就找不到可以摔碎鸡蛋的最低楼层了！ 

二分搜索失败，但我们从中找到一点启示：就是当我们找到一个鸡蛋可以摔碎的楼层区间时，不能从中再截取一段楼层再去扔，必须用顺序轮询法从低层到高层一层一层去找出那个楼层。（就像上面说的，如果鸡蛋从50楼摔下，碎了，那么第二个鸡蛋必须从一楼开始扔：一楼、二楼、三楼。。。。。。直到找出可以摔碎鸡蛋的楼层）。

 

所以思路出来了：开始可以分段去找出可以摔碎鸡蛋的楼层段（我们称之“高楼层分段找的次数”），然后再去轮询这个分界点以下的楼层段的每一层楼，看是在哪一层楼可以把鸡蛋摔碎（我们称之“低楼层轮询的次数”）。

 

解答：我们使用暴力破解法，什么是暴力破解法？就是不存在侥幸心理（如果刚好碰到那个楼层就说我找到了摔碎鸡蛋的楼层就是侥幸心理），我们所假设的都是最坏情况下的查找次数。上图喽：

如果分得的第一段分界点在x=5处，那么最坏情况下x左边的查找次数应该等于x右边的查找次数，即上图中的“=”成立。

所以在x=5处分两种情况：鸡蛋碎了和没碎。两种情况的查找次数应该相等。

1.     如果鸡蛋没碎：那么说明所找楼层小于5，对于小于5的情况，必须轮询，也就是“低楼层轮询的次数”（参见上面思路），此时从1~4层轮询需要4次，即低楼层轮询次数=4。

2.     如果鸡蛋碎了：那么说明所找楼层大于5，对于大于5的情况，我们找楼层的次数=“高楼层分段找的次数”+“低楼层轮询的次数”。此时第二个分界点就是9！为什么呢？因为低楼层轮询次数=4，高楼层分段+低楼层轮询也一定要等于4，分段占去一次（在9这个位置），那么只能低楼层轮询=3，轮询6~8刚好等于3。

 

所以，如上图，最坏情况下：如果鸡蛋碎了，低楼层轮询4次。如果没碎，也是4次（9楼扔一次，假设没碎，然后6、7、8楼各扔一次，加起来4次，与低楼层次数相同）。

 

所以：

第一个分界点为5，5的左边要扔4次，5的右边也等于4次；第一个楼层段为5（1~5楼）；

第二个分界点为9，9的左边要扔3次，9的右边也等于3次；第二个楼层段为4（6~9楼）；

……

假设第一个分界点为x，则第一段楼层段就是x，而第二个楼层段就是x-1，第三个楼段是x-2，……那总共有多少个楼层段呢？有x个！

把所有楼层加起来小于总楼层100，就是x+(x-1)+(x-2)+……+[x-(x-1)]= x+(x-1)+(x-2)+……+1<=100。解出x=14。

 

检验：把答案列出来更直观：

第1次：14

第2次：+13=27

第3次：+12=39

第4次：+11=50

第5次：+10=60

第6次：+9=69

第7次：+8=77

第8次：+7=84

第9次：+6=90

第10次：+5=95

第11次：+4=99

第12次：+3=102

第13次：+2=104

第14次：+1=105

这是典型的动态规划问题。假设f[n]表示从n层楼找到摔鸡蛋不碎安全位置的最少判断次数。假设第一个鸡蛋第一次从第i层扔下，如果碎了，就剩一个鸡蛋，为确定下面楼层中的安全位置，必须从第一层挨着试，还需要i-1次；如果不碎的话，上面还有n-i层，剩下两个鸡蛋，还需要f[n-i]次（子问题，实体n层楼的上n-i层需要的最少判断次数和实体n-i层楼需要的最少判断次数其实是一样的）。因此，最坏情况下还需要判断max(i-1,f[n-i])次。

状态转移方程：f[n] = min{ 1 + max(i - 1 ,f[n - i]) | i = 1 ..n } 

初始条件: f[ 0 ] = 0 （或f[ 1 ] = 1 ） 

现在推广成n层楼，m个鸡蛋： 
还是动态规划。假设f[n,m]表示n层楼、m个鸡蛋时找到摔鸡蛋不碎的最少判断次数。则一个鸡蛋从第i层扔下，如果碎了，还剩m-1个鸡蛋，为确定下面楼层中的安全位置，还需要f[i-1,m-1]次（子问题）；不碎的话，上面还有n-i层，还需要f[n-i,m]次（子问题，实体n层楼的上n-i层需要的最少判断次数和实体n-i层楼需要的最少判断次数其实是一样的）。 

状态转移方程：f[n,m] = min{ 1 + max(f[i - 1 ,m - 1 ], f[n - i,m]) | i＝ 1 ..n }

初始条件：f[i, 0 ] = 0 （或f[i, 1 ] = i），对所有i