递归：分治法与动态规划

动态规划、分治法和贪心法都是利用求解子问题，而后利用子问题求解更上层问题，最终获得全局解决方案的方法。但是三者的应用场景和性质却存在着极大的不同：

1. 分治法

分治法的精髓：

分–将问题分解为规模更小的子问题；
治–将这些规模更小的子问题逐个击破；
合–将已解决的子问题合并，最终得出“母”问题的解；

很容易将分治法与动态规划相混淆，但两者却有着本质上的差异。分治法采用的是递归的思想来求解问题，两个分解的子问题独立求解，其之间无任何的重叠。而上一层问题只需要对两个子问题进行一定的合并即可得到答案。即s(t)＝ s(sub1)+s(sub2)，而s(sub1)和s（sub2）之间无任何重叠。

1.1 使用分治法求数组中的最大值

函数将数组a[1],……,a[r]分成两部分，分别求出每部分的最大元素（递归地），并返回较大的那一个作为整个数组的最大元素。

Item max(Item a[],int l,int r) {    Item u,v;    int m=(l+r)/2;    if (l==r) return a[l];//如果只有一个元素，就返回它    u=max(a,l,m);    v=max(a,m+1,r);    if(u>v) return u;    else return v;}

2. 动态规划

该种方法较为复杂，但十分有用和高效，其核心性质是当前问题的答案s(t)并不能单独由s(t-1)求得，还有可能需要使用到s(1)...s(t-1)。具体需要使用到那些，是由问题本身的性质所决定的（常常是一个约束，或变相的约束）。
动态规划分解后的子问题相互间有联系，有重叠的部分。

2.1 动态规划与01背包问题

01背包问题：一个背包总容量为V，现在有N个物品，第i个 物品体积为weight[i]，价值为value[i]，现在往背包里面装东西，怎么装能使背包的内物品价值最大？
动态规划先找出子问题，我们可以这样考虑：在物品比较少，背包容量比较小时怎么解决？用一个数组f[i][j]表示，在只有i个物品，容量为j的情况下背包问题的最优解，那么当物品种类变大为i+1时，最优解是什么？第i+1个物品可以选择放进背包或者不放进背包（这也就是0和1），假设放进背包（前提是放得下），那么f[i+1][j]=f[i][j-weight[i+1]+value[i+1]；如果不放进背包，那么f[i+1][j]=f[i][j]。
这就得出了状态转移方程：
f[i+1][j]=max(f[i][j],f[i][j-weight[i+1]+value[i+1])。
完整代码：

#include<iostream>using namespace std;#define  V 1500unsigned int f[10][V];//全局变量，自动初始化为0unsigned int weight[10];unsigned int value[10];#define  max(x,y)   (x)>(y)?(x):(y)int main() {    int N,M;    cin>>N;//物品个数    cin>>M;//背包容量    for (int i=1;i<=N; i++) {        cin>>weight[i]>>value[i];    }    for (int i=1; i<=N; i++)         for (int j=1; j<=M; j++) {            if (weight[i]<=j) {                f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-weight[i]]+value[i]);            }            else                f[i][j]=f[i-1][j];        }    cout<<f[N][M]<<endl;//输出最优解}