常用算法（2）--选择排序&堆排序

，本篇介绍选择排序和堆排序

 

一、选择排序

非常的简单直观，每次找出最小或者最大的值存储起来，继续找剩下的值存储起来，直达最后一个元素。

1. 从arr[0]~arr[N]中找出最小的值，放在arr[0]，此时arr[0]已经排好序
2. 从arr[1]~arr[N]中找出最小的值，放在arr[1],
3. ....从arr[i]~arr[N]中找出最小的值，放在arr[i],
4. 找到i==N,排序完成

 

二、堆排序

 堆排序(Heap Sort)是指利用堆这种数据结构所设计的一种排序算法。

堆实际上就是一颗完全二叉树。堆分为大顶堆和小顶堆，又叫最大堆和最小堆。

大顶堆：父节点比左右节点的值都要大，用来做升序。

小顶堆：父节点比左右节点的值都要小，用来做降序。

 

大顶堆和小顶堆是对称关系，理解其中一种即可。本文将对大顶堆实现的升序排序进行详细说明。

堆排序时间复杂度是O(N*lgN)。

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1、基本思想

（1）、初始化堆：将数列a[0...n]构造成最大堆。
（2）、交换数据：将a[0]和a[n]交换，使a[n]是a[0...n]中的最大值；然后将a[0...n-1]重新调整为最大堆。 接着，将a[1]和a[n-1]交换，使a[n-1]是a[1...n-1]中的最大值；然后将a[1...n-2]重新调整为最大值。 依次类推，直到整个数列都是有序的。

 

2、数组实现的二叉堆的性质

数组和堆的对应关系如下：

 

数组和堆有三个对应关系：

（1）、索引为i的左孩子的索引是 (2*i+1);
（2）、索引为i的左孩子的索引是 (2*i+2);
（3）、索引为i的父结点的索引是 floor((i-1)/2);即取整

 

比如30，索引为1，左孩子是40索引是3，右孩子是70索引是4。

 

3、例子演示

（1）、初始化堆

在堆排序算法中，首先要将待排序的数组转化成二叉堆。
下面演示将数组{20,30,90,40,70,110,60,10,100,50,80}转换为最大堆{110,100,90,40,80,20,60,10,30,50,70}的步骤。

 

1.1 i=数组长度/2-1=11/2-1，即i=4

 

上面是maxheap_down(a, 4, 10)调整过程。maxheap_down(a, 4, 10)的作用是将a[4...10]进行下调；a[4]的左孩子是a[9]，右孩子是a[10]。调整时，选择左右孩子中较大的一个(即a[10])和a[4]交换。

1.2 i=3

 

上面是maxheap_down(a, 3, 10)调整过程。maxheap_down(a, 3, 10)的作用是将a[3...10]进行下调；a[3]的左孩子是a[7]，右孩子是a[8]。调整时，选择左右孩子中较大的一个(即a[8])和a[4]交换。

1.3 i=2

 

上面是maxheap_down(a, 2, 10)调整过程。maxheap_down(a, 2, 10)的作用是将a[2...10]进行下调；a[2]的左孩子是a[5]，右孩子是a[6]。调整时，选择左右孩子中较大的一个(即a[5])和a[2]交换。

1.4 i=1

 

上面是maxheap_down(a, 1, 10)调整过程。maxheap_down(a, 1, 10)的作用是将a[1...10]进行下调；a[1]的左孩子是a[3]，右孩子是a[4]。调整时，选择左右孩子中较大的一个(即a[3])和a[1]交换。

交换之后，a[3]为30，它比它的右孩子a[8]要大，接着，再将它们交换。

1.5 i=0

 

上面是maxheap_down(a, 0, 10)调整过程。maxheap_down(a, 0, 10)的作用是将a[0...10]进行下调；a[0]的左孩子是a[1]，右孩子是a[2]。调整时，选择左右孩子中较大的一个(即a[2])和a[0]交换。

交换之后，a[2]为20，它比它的左右孩子要大，选择较大的孩子(即左孩子)和a[2]交换。

调整完毕，就得到了最大堆。此时，数组{20,30,90,40,70,110,60,10,100,50,80}也就变成了{110,100,90,40,80,20,60,10,30,50,70}。

（2）、交换数据

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在将数组转换成最大堆之后，接着要进行交换数据，从而使数组成为一个真正的有序数组。
交换数据部分相对比较简单，下面仅仅给出将最大值放在数组末尾的示意图。

 

上面是当n=10时，交换数据的示意图。
当n=10时，首先交换a[0]和a[10]，使得a[10]是a[0...10]之间的最大值；然后，调整a[0...9]使它称为最大堆。交换之后：a[10]是有序的。
当n=9时， 首先交换a[0]和a[9]，使得a[9]是a[0...9]之间的最大值；然后，调整a[0...8]使它称为最大堆。交换之后：a[9...10]是有序的。
...
依此类推，直到a[0...10]是有序的。